Vedenie tepla

Vedenie tepla (zastarano tepelná kondukcia) je jeden zo spôsobov šírenia tepla v telesách, pri ktorom si pri vzájomných zrážkach častice materiálu navzájom odovzdávajú časť svojej pohybovej energie.

V dôsledku vedenia tepla prúdi energia vždy z oblastí s vyššou teplotou do chladnejších častí telesa. Bez vonkajších vplyvov (dodatočné ohrievanie, resp. ochladzovanie) je výsledkom vedenia tepla rovnováha, pri ktorej má každá časť telesa rovnakú teplotu.

Vedenie tepla je najčastejší spôsob šírenia tepla v pevných telesách. Porovnať látky podľa ich tepelnej vodivosti umožňuje veličina súčiniteľ tepelnej vodivosti. Hustejšie látky sú zvyčajne lepšími vodičmi tepla, výbornými vodičmi tepla sú kovy. Takéto látky nazývame tepelnými vodičmi. Látky, ktoré teplo vedú veľmi slabo, nazývame tepelné izolanty – veľký význam majú napríklad v stavebníctve (pri izolácii budov).

Pri vedení tepla častice látky v oblasti s vyššou strednou kinetickou energiou predávajú časť svojej pohybovej energie prostredníctvom vzájomných zrážok častíc v oblasti s nižšou strednou kinetickou energiou. Častice sa pritom nepremiestňujú, ale len kmitajú okolo svojich rovnovážnych polôh.

Vedenie tepla sa uplatňuje predovšetkým v tuhých telesách, ktorých rôzne časti majú rôznu teplotu. Teplo sa vedením šíri tiež v kvapalinách a plynoch, kde sa však uplatňuje tiež prenos tepla prúdením.

Vzťahy

Vedenie tepla v tepelne izolovanom vodiči.

Pre vedenie tepla je základnou rovnicou rovnica vedenia tepla niekedy nazývaná aj Fourierov zákon. Podľa nej ak na tyči s dĺžkou L a prierezom S udržiavame rozdielne teploty koncov $T_1$ a $T_2$, po čase sa v sústave ustáli rovnováha a teplota sa mení pozdĺž tyče lineárne (pozri obrázok vpravo). Vtedy za čas t pretečie prierezom tyče teplo Q veľkosti

$Q=\lambda S\frac{T_1-T_2}{L}\mathrm{\Delta }t.$

Konštanta úmernosti v tomto vzťahu $\lambda$ sa nazýva súčiniteľ tepelnej vodivosti. Je to charakteristika látky, z ktorej je tyč zhotovená. Zo vzťahu vidíme, že množstvo tepla preneseného vedením rastie priamo úmerne s prierezom telesa S a tzv. teplotným spádom (niekedy ho nazývame teplotný diferenciál) $(T_1-T_2)/L$.

Fourierov zákon má formu veľmi podobnú Ohmovmu zákonu – oba javy (vedenia tepla i vedenie elektrického prúdu) majú totiž podobný pôvod.

Tyč s konštantným prierezom a lineárnym poklesom teploty pozdĺž tyče je veľmi zjednodušenou sústavou. Vo všeobecnosti platí pre vedenie tepla v látke rovnica

$\overrightarrow{q}=-\lambda \text{grad}T$

Tu $\overrightarrow{q}$ je vektor hustoty tepelného výkonu prenášaného prúdením, $\lambda$ je koeficient tepelnej vodivosti a $T(x,y,z)$ je funkcia (presnejšie skalárne pole) udávajúca teplotu v rôznych bodoch telesa. Zápisom $\text{grad}T$ sme označili aplikovanie gradientu na skalárne pole teploty .

Vedenie tepla je možné rozdeliť

• Ustálené (stacionárne) vedenie tepla – teplotný rozdiel medzi jednotlivými časťami telesa sa v čase nemení.
• Neustálené (nestacionárne) vedenie tepla – teplotné rozdiely medzi jednotlivými časťami telesa, medzi ktorými sa teplo prenáša sa postupne vyrovnávajú.

Ustálené vedenie tepla

Ustálené vedenie tepla je možné demonštrovať napr. na tyči dĺžky $d$, ktorej jeden koniec je udržiavaný na teplote $t_1$ a druhý koniec je udržiavaný na teplote $t_2$. Teplotný rozdiel $t_2-t_1$ je teda stály, teplota klesá rovnomerne od teplejšieho konca k chladnejšiemu. Podiel $\frac{t_2-t_1}{d}$ sa nazýva teplotný spád (teplotný gradient).

Množstvo tepla $Q$, ktoré za týchto podmienok prejde ľubovoľným kolmým prierezom $S$ tyče za dobu $\tau$, je rovný

$Q=\lambda S\frac{t_2-t_1}{d}\tau$

Konštanta úmernosti $\lambda$ je súčiniteľ tepelnej vodivosti (tepelná vodivosť).

Teplo prechádzajúce plochou určuje tzv. tepelný tok. Množstvo tepla $Q$, ktoré prejde plochou $S$ za čas $\tau$ sa označuje ako hustota tepelného toku

$q=\frac{Q}{\tau S}$

Podľa predchádzajúcich vzťahov teda pri ustálenom stave platí

$q=\lambda \frac{t_2-t_1}{d}$

Ak hrúbku vrstvy (teda dĺžku tyče) $d$ zmenšujeme na $\mathrm{d}x$, zmení sa na tejto tenkej vrstve teplota o $-\mathrm{d}t$. Vzťah pre hustotu tepelného toku môžeme teda prepísať

$q=-\lambda \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$

Teplotný gradient $\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ sa však môže meniť nielen v smere osi $x$, ale tiež v ostatných smeroch. Ide teda o vektorovú veličinu, čo je možné s pomocou operátora gradientu vyjadriť ako

$𝐪=-\lambda \cdot \mathrm{grad}t$

Z tohto vzťahu je vidieť, že priebeh teploty v rovinnej doske je pri ustálenom prúdení tepla lineárna funkcia. Predchádzajúce vzťahy je možné využiť pri riešení problému prechodu tepla rozhraním. Tento vzťah býva tiež označovaný ako Fourierov zákon.

Pokiaľ sa teleso (napr. doska), ktorým teplo prestupuje skladá z $n$ vrstiev s rôznou tepelnou vodivosťou ${\lambda }_q$ a hrúbke $d_q$ pre $q$-tú vrstvu, potom za ustáleného stavu je hustota tepelného prúdu vo všetkých vrstvách rovnaká, tzn.

$q=\frac{{\lambda }_1}{d_1}(t_1-t_2)=\frac{{\lambda }_2}{d_2}(t_2-t_3)=\cdots =\frac{{\lambda }_n}{d_n}(t_n-t_{n+1})$

Pre celkový rozdiel teplôt potom dostaneme

$t_1-t_{n+1}=(t_1-t_2)+(t_2-t_3)+\cdots +(t_n-t_{n+1})=q\frac{d_1}{{\lambda }_1}+q\frac{d_2}{{\lambda }_2}+\cdots +q\frac{d_n}{{\lambda }_n}=q\sum _{k=1}^n\frac{d_k}{{\lambda }_k}$

Hustotu tepelného toku takouto doskou je možné vyjadriť ako

$q=\frac{t_1-t_{n+1}}{\sum _{k=1}^n\frac{d_k}{{\lambda }_k}}$

Podiel $\frac{d_k}{{\lambda }_k}$ sa nazýva merný tepelný odpor vrstvy.

Neustálené vedenie tepla

Pri neustálenom vedení tepla dochádza k zmene teploty v jednotlivých častiach telesa.

Uvažujme prípad vedenia tepla doskou, ktoré nastane pri náhlom zvýšení teploty na jednom z povrchov dosky. Pokiaľ dosku rozdelíme na vrstvy o hrúbke $\mathrm{\Delta }x$, nebude hustota tepelného toku vo všetkých vrstvách rovnaká ako pri ustálenom vedení tepla. Dôvodom je to, že časť tepla, ktoré do vrstvy vstúpi sa spotrebuje na ohriatie vrstvy. O túto časť tepla je potom tok v nasledujúcej vrstve ochudobnený.

Nech teda do vrstvy o hrúbke $\mathrm{\Delta }x$ a ploche $S$ vstúpi za čas $\mathrm{\Delta }\tau$ teplo $Q_1=q_{1}S\mathrm{\Delta }\tau$ a z rovnakej vrstvy vystúpi za rovnaký čas teplo $Q_2=q_{2}S\mathrm{\Delta }\tau$, kde $q_1$ a $q_2$ sú hustoty tepelného toku na vstupnej a výstupnej ploche. Teplota vrstvy sa teda zvýši o teplo, ktoré je rozdielom týchto teplôt, tzn.

$Q_1-Q_2=(q_1-q_2)S\mathrm{\Delta }\tau =-\mathrm{\Delta }qS\mathrm{\Delta }\tau$

Pokiaľ je merná tepelná kapacita vrstvy $c$ a jej hmotnosť je $\mathrm{\Delta }m=\rho S\mathrm{\Delta }x$, kde $\rho$ je hustota vrstvy, potom platí

$Q_1-Q_2=c\mathrm{\Delta }m\mathrm{\Delta }t$

Z predchádzajúcich vzťahov potom dostaneme

$-\mathrm{\Delta }q\mathrm{\Delta }\tau =c\rho \mathrm{\Delta }x\mathrm{\Delta }t$

Deriváciou vzťahu $q=-\lambda \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$ získame

$\frac{\partial q}{\partial x}=-\lambda \frac{{\partial }^{2}t}{\partial x^2}$

Pre časovú zmenu strednej teploty vrstvy dostaneme z týchto vzťahov (v limite pre $\mathrm{\Delta }x\to 0$ a $\mathrm{\Delta }\tau \to 0$) získame výraz

$\frac{\partial t}{\partial \tau }=\frac{\lambda }{c\rho }\frac{{\partial }^{2}t}{\partial x^2}$

Tento vzťah predstavuje jednorozmernú diferenciálnu rovnicu vedenia tepla. Túto rovnicu je možné jednoducho zovšeobecniť na trojrozmerný prípad

$\frac{\partial t}{\partial \tau }=\frac{\lambda }{c\rho }(\frac{{\partial }^{2}t}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}t}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}t}{\partial z^2})$

Teplotná vodivosť

Pre zjednodušenie sa zavádza veličina

$a=\frac{\lambda }{c\rho }$,

ktorá je označovaná ako teplotná vodivosť (súčiniteľ teplotnej vodivosti). Táto veličina ukazuje, ako látka vedie teplo, tzn. ako ľahko sa v nej vyrovnávajú teplotné rozdiely.

Rovnice vedenia tepla

Matematická formulácia nestacionárneho vedenia tepla umožňuje všeobecné vyjadrenie diferenciálnej rovnice vedenia tepla. Ide o pravdepodobne najznámejší príklad parciálnej diferenciálnej rovnice parabolického typu, ktorá je označovaná ako rovnica vedenia tepla. Vo všeobecnom vyjadrení sa zapisuje ako

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}+f(x_1,x_2,...,x_n,t)$

Táto nehomogénna rovnica je pomenovaná podľa toho, že popisuje vedenie tepla v $n$-rozmernom vektorovom priestore s časom $t$.

V špeciálnom prípade pre $n=3$ dostaneme

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2}+f(x,y,z,t)$

Pokiaľ v rovnici vedenia tepla platí $f=0$, potom dostaneme homogénnu rovnicu vedenia tepla

$\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_n^2}$

Z fyzikálneho hľadiska ide o prípad, kedy sa vo vyšetrovanej oblasti nenachádzajú žiadne zdroje tepla.

Pozri aj

• Termika
• Šírenie tepla
• Prúdenie tepla
• Tepelné žiarenie