Trojčlenka

Trojčlenka je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny $b$ v závislosti od veličiny $a$ podľa vzorca $b=c.a$, pričom $c$ je konštanta. Jednoducho povedané, veličiny $a$ a $b$ sú v priamej úmere. Ich podiel $\frac{b}{a}$ sa rovná konštante $c$. Ak sa veličina $a$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina $b$.

Úlohy

Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

Metóda postupného výpočtu

Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky? Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy. Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje $\frac{3}{2}$ konzervy. Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia $\frac{3.4}{2}$ konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

Trojčlenka v nepriamej úmernosti

Trojčlenka v nepriamej úmernosti sa zakladá na tom, že veličina $b$ závisí od veličiny $a$, $a\ne 0$ podľa vzorca, kde $b=\frac{c}{a}$ je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny $a$ a $b$ sú nepriamo úmerné. Ich súčin $a.b$ je konštantný. Ak sa veličina $a$ zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina $b$.

Príklad na nepriamu úmernosť.

3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov? Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny). Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje $3.2$ h. Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje $\frac{3.2}{6}$. Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

Zložená trojčlenka

Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami $(a_1,b_1)$ a $(a_2,b_2)$. V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami $(a_1,b_1,c_1)$ a $(a_2,b_2,c_2)$. Hľadanou hodnotou je vždy $c_2$.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:

1. $(a_1,b_1)$ vzťah medzi hodnotami oboch veličín

2. $(1,\approx )$ výsledok pre jednotku

3. $(a_2,\approx )$ dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

1. $(a_1,b_1,c_1)$ vzťah medzi hodnotami troch veličín

2. $(1,b_1,\approx )$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej $a_1$

3. $(1,1,\approx )$ výsledok pre jednotku odpovedajúcej $b_1$

4. $(1,b_2,\approx )$ dopočítanie druhej dvojice z $b_2$

5. $(a_2,b_2,\approx )$ dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame $c_1$, prípadne $c_2$, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom $\approx )$. Rozdiel spočíva v tom, že páry $(a_1,b_1)$ a $(a_2,b_2)$, $(a_1,c_1)$ a $(a_2,x)$, $(b_1,c_1)$ a $(b_2,x)$ sú priamo čí nepriamo úmerné.

Príklad 1)

5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?

Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí

Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, $\frac{30}{5}$ žemle

Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, $\frac{30}{5.3}$ žemle

Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, $\frac{30.2}{5.3}$ žemle

Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, $\frac{30.2.8}{5.3}=32$ žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

Príklad 2)

5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?

Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín

Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, $\frac{20}{10000}$ hodín

Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, $\frac{20.5}{10000}$ hodín

Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, $\frac{20.5}{10000.2}$ hodín

Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, $\frac{20.5.8000}{10000.2}=40$ hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

Príklad 3)

3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?

Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, $8$ hodín

Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, $8.3$ hodín

Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, $\frac{8.3}{48}$ hodiny

Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, $\frac{8.3.20}{48}$ hodiny

Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, $\frac{8.3.20}{48.5}=2$ hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

Príklad 4)

3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

Krok 1: 3 robotníci, 8 h, $3$ dni

Krok 2: 1 robotník, 8 h, $3.3$ dni

Krok 3: 1 robotník, 1 h, $3.3.8$ dni

Krok 4: 1 robotník, 2 h, $\frac{3.3.8}{2}$ dni

Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, $\frac{3.3.8}{2.9}=4$ dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné. V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

Literatúra

• K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: Kompendium matematiky Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

Pozri aj

• Kvadratický odhad
• Násobenie