Rovnobežník

Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú rovnobežné a majú rovnakú dĺžku. Súčet susedných uhlov je 180°.

Vlastnosti

Rovnobežník má 4 strany, 4 vrcholy, 4 uhly, ktorých súčet je $2 π$ (360°). Z rovnobežnosti protiľahlých strán vyplýva, že veľkosť protiľahlých strán je rovnaká, tzn.

a = | A B | = | C D | = c, d = | A D | = | B C | = b .

Z toho vyplýva, že aj veľkosť protiľahlých uhlov má rovnakú veľkosť, tzn.

α = ∠ D A B = ∠ B C D = γ, β = ∠ A B C = ∠ C D A = δ .

Pretože $α + β + γ + δ = 2 (α + β) = 2 π$ , platí

α = π - β .

Všeobecne má rovnobežník rôznu veľkosť priľahlých strán, t. j. $a \neq b$ , a uhly rôzne od pravých uhlov, t. j. $α \neq β$ . Ak sú priľahlé strany rovnako veľké, t. j. $a = b = c = d$ , nazývame taký rovnobežník kosoštvorcom. Ak sú uhly pravé, t. j. $α = β = γ = δ = π / 2$ , nazývame taký rovnobežník obdĺžnikom. Rovnobežník, ktorý je kosoštvorcom a obdĺžnikom zároveň nazývame štvorcom.

Uhlopriečky rovnobežníka sa vzájomne rozpoľujú. Dĺžky uhlopriečok sú:

e = | A C | = \sqrt{a^{2} + d^{2} + 2 a d \cos α} = \sqrt{(a + h_{a} cotg α)^{2} + h_{a}^{2}},

f = | B D | = \sqrt{a^{2} + d^{2} - 2 a d \cos α} = \sqrt{(a - h_{a} cotg α)^{2} + h_{a}^{2}} .

Obsah

Obsah rovnobežníka je rovný:

S = a h_{a} = b h_{b} = a b \sin α

,

kde $a = | A B |$ a $b = | A D |$ sú dĺžky priľahlých strán rovnobežníka a $h_{a}$ je výška k strane $A B$ , obdobne $h_{b}$ je výška k strane $A D$ , $α$ je vnútorný uhol medzi priľahlými stranami.

V rovine

Ak sú vrcholy $A, B, C, D$ zadané pomocou súradníc v rovine, t. j. $A = (x_{A}, y_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B})$ , atď, je obsah rovnobežníka rovný absolútnej hodnote determinantu zostaveného zo súradníc ľubovoľných troch vrcholov takto:

S = | \det (\begin{matrix} x_{B} - x_{A} & x_{D} - x_{A} \\ y_{B} - y_{A} & y_{D} - y_{A} \end{matrix}) | = | (x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B}) - (x_{A} y_{D} - x_{D} y_{A}) + (x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A}) | .

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol $A$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. $A = (0, 0)$ , potom teda:

S = | x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B} | .

Úplne analogicky možno spočítať objem ľubovolného kvádru, resp. nadobjem ľubovolného $n$ – rozmerného nadrovnobežnostenu (v $n$ – rozmernom priestore).

V trojrozmernom priestore

Ak sú vrcholy $A, B, C, D$ zadané pomocou súradníc v priestore, t. j. $A = (x_{A}, y_{A}, z_{A})$ , $B = (x_{B}, y_{B}, z_{B})$ , atď, a zavedieme ak stranové vektory

𝐚 = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, z_{B} - z_{A}), 𝐛 = (x_{D} - x_{A}, y_{D} - y_{A}, z_{D} - z_{A}),

je obsah rovnobežníka rovný euklidovskej norme (dĺžke) vektora $𝐚 \times 𝐛$ , kde „ $\times$ “ značí vektorový súčin dvoch vektorov. Teda:

S = ‖ 𝐚 \times 𝐛 ‖_{2} = ((𝐚 \times 𝐛) \cdot (𝐚 \times 𝐛))^{1 / 2}

kde „ $\cdot$ “ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

Ak majú smerové vektory nulové zložky v smere osi $z$ , t. j.

𝐚 = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, 0), 𝐛 = (x_{D} - x_{A}, y_{D} - y_{A}, 0),

potom:

𝐚 \times 𝐛 = (0, 0, (x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B}) - (x_{A} y_{D} - x_{D} y_{A}) + (x_{A} y_{B} - x_{B} y_{A})),

čím dostaneme práve vzťah na výpočet obsahu rovnobežníka v rovine.

Ak stotožníme, pre jednoduchosť, vrchol $A$ s počiatkom súradnicového systému, t. j. $A = (0, 0, 0)$ , potom

𝐚 \times 𝐛 = (y_{B} z_{D} - y_{D} z_{B}, x_{D} z_{B} - x_{B} z_{D}, x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B})

vo všeobecnom prípade , respektíve:

𝐚 \times 𝐛 = (0, 0, x_{B} y_{D} - x_{D} y_{B})

v prípade, že smerové vektory majú navyše nulové zložky v smere osi $z$ .

Zovšeobecnením vektorového súčinu do $n$ – rozmerného priestoru (ide o o súčin $(n - 1)$ lineárne nezávislých vektorov dĺžky $n$ , ktorého výsledkom je vektor kolmý na všetky predchádzajúce, tvoriace s nimi, v danom poradí, pravotočivou bázou) možno úplne analogicky spočítať nadobsah ľubovoľného $(n - 1)$ – rozmerného nadrovnobežníka v $n$ – rozmernom priestore.

V n-rozmernom (reálnom) priestore

Ak je rovnobežník daný dvoma postrannými vektormi v všeobecnom reálnom $n$ – rozmernom priestore

𝐚 = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}), 𝐛 = (b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots, b_{n}),

potom jeho obsah je daný vzťahom:

S = \sqrt{‖ 𝐚 ‖_{2}^{2} ‖ 𝐛 ‖_{2}^{2} - ⟨ 𝐚, 𝐛 ⟩^{2}} = ((𝐚 \cdot 𝐚) (𝐛 \cdot 𝐛) - (𝐚 \cdot 𝐛)^{2})^{1 / 2},

kde „ $⟨, ⟩$ “, resp . „ $\cdot$ “ značí skalárny súčin dvoch vektorov.

dosadením:

𝐚 = (x_{B} - x_{A}, y_{B} - y_{A}, 0, \dots, 0), 𝐛 = (x_{D} - x_{A}, y_{D} - y_{A}, 0, \dots, 0),

opäť dostávame známy vzťah pre obsah rovnobežníka v rovine.

Pozri aj

Zdroj

Šablóna:Preklad