Portál:Matematika/Odporúčaný článok/3 2011

Lagrangeov polynóm, pomenovaný podľa Josepha Louisa Lagrangea, je v numerickej matematike interpolujúci polynóm pre danú množinu bodov v Lagrangeovom tvare. V roku 1779 ho objavil Edward Waring a v roku 1783 ho znovuobjavil Leonhard Euler.

Je povšimnutia hodné, že pre danú množinu bodov existuje len jeden polynóm (najmenšieho možného stupňa), ktorý interpoluje dané body. Preto je správnejšie o Lagrangeovom polynóme hovoriť ako o Lagrangeovom tvare interpolujúceho polynómu, než o Lagrangeovom interpolujúcom polynóme.

Definícia

Nech je daná množina k + 1 bodov

$(x_0,y_0),\dots ,(x_j,y_j),\dots ,(x_k,y_k)$

kde žiadne dve hodnoty $x_j$ nie sú rovnaké. Potom interpolujúci polynóm v Lagrangeovom tvare pre túto množinu bodov je lineárna kombinácia

$L(x):=\sum _{j=0}^k{y}_j{\ell }_j(x)$

Lagrangeových bázických polynómov

${\ell }_j(x):=\prod _{f=0,f\ne j}^k\frac{x-x_f}{x_j-x_f}.$

Je povšimnutia hodné, že za predpokladu, že žiadne dve hodnoty $x_i$ nie sú rovnaké (a to ani nemôžu byť, keďže by daná úloha nedávala zmysel), platí $x_j-x_f\ne 0$, čiže daný výraz je vždy dobre definovaný.

Celý článok...