Portál:Matematika/Odporúčaný článok/29 2011

Vandermondova konvolúcia alebo Vandermondova identita je kombinatorická identita pomenovaná po francúzskom matematikovi Alexandre-Théophile Vandermonde, ktorý s ňou prišiel v roku 1772. Znenie identity je

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{r})=\sum _{k=0}^r(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{k})(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r-k}),m,n,r\in {\mathbb{N}}_0,$

kde $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ je binomický koeficient. Napriek tomu, že je konvolúcia pomenovaná po Vandermondovi, v skutočnosti pochádza už z roku 1303, kedy ju objavil čínsky matematik Ši-ťie Ču.

Algebraický dôkaz

Vo všeobecnosti platí nasledujúci vzťah pre súčin dvoch polynómov stupňov m a r:

$\left(\sum _{i=0}^m{a}_i{x}^i\right)\left(\sum _{j=0}^n{b}_j{x}^j\right)=\sum _{r=0}^{m+n}\left(\sum _{k=0}^r{a}_k{b}_{r-k}\right)x^r,$

pričom používame konvencu, že a_i = 0 pre i > m a b_j = 0 pre všetky j > n. Z binomickej vety,

$(1+x{)}^{m+n}=\sum _{r=0}^{m+n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m+n}{r})x^r.$

Celý článok...