Parciálna diferenciálna rovnica

Parciálna diferenciálna rovnica je v matematike rovnica obsahujúca neznámu funkciu niekoľkých nezávisle premenných a jej parciálne derivácie podľa týchto premenných. Najvyšší z rádov parciálnych derivácii vyskytujúcich sa v rovnici sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Parciálne diferenciálne rovnice sú zovšeobecnením obyčajných diferenciálnych rovníc, ktoré obsahujú neznámu funkciu jednej premennej a jej derivácie. Každá obyčajná diferenciálna rovnica je súčasne aj parciálnou diferenciálnou rovnicou.

Definícia

Parciálna diferenciálna rovnica je matematická rovnica tvaru

$F(x_1,\dots ,x_n,u,\frac{\partial }{\partial x_1}u,\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}u,\frac{{\partial }^2}{\partial x_1^2}u,\frac{{\partial }^2}{\partial x_1\partial x_2}u,\dots ,\frac{{\partial }^2}{\partial x_n^2}u,\dots ,\frac{{\partial }^k}{\partial x_1^k}u,\frac{{\partial }^k}{\partial x_1^{(k-1)}\partial x_2}u\dots ,\frac{{\partial }^k}{\partial x_n^k}u)=0,$

kde $u(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ je neznáma funkcia n premenných. Číslo k sa nazýva rád parciálnej diferenciálnej rovnice.

Príklady

Elementárny príklad

Uvažujme parciálnu diferenciálnu rovnicu

$\frac{\partial }{\partial x}u(x,y)=0.$

Zjavne, riešením tejto rovnice sú všetky funkcie nezávislé od x, preto možno všeobecné riešenie zapísať ako

$u(x,y)=f(y),$

kde f je ľubovoľná funkcia o jednej premennej. Uvedená rovnica je analógiou obyčajnej diferenciálnej rovnice

$\frac{\text{d}u(x)}{\text{d}x}=0,$

ktorej riešením je ľubovoľná konštanta c (nezávislá od x).

Rovnica vedenia tepla

Dôležitým príkladom parciálnej diferenciálnej rovnice je rovnica vedenia tepla, ktorá opisuje šírenie tepla v telesách v závislosti od času. Pre funkciu $u(x,y,z,t),$ kde $(x,y,z)$ vyjadruje polohu bodu v priestore a t udáva čas, má rovnica vedenia tepla tvar

$\frac{\partial u}{\partial t}-\alpha (\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial z^2})=0,$

kde $\alpha$ je konštanta.

Vlnová rovnica

Vlnová rovnica je parciálna diferenciálna rovnica druhého rádu, ktorá sa využíva na opis vlnenia (akustického, mechanického, elektromagnetického, atď.).

Vo všeobecnosti ide o typ rovnice, ktorá sa dá vyjadriť v tvare

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_n^2},$

kde c je konštanta.

Literatúra

• Evans, L. C.: Partial Differential Equations. Springer, 2010.
• Farlow, S. J.: Partial differential equations for scientists and engineers. Dover, 1993.

Externé odkazy

• EqWorld - stránka s informáciami o riešeniach rovníc, vrátane parciálnych diferenciálnych Šablóna:Eng icon.
• Parciálna diferenciálna rovnica - MathWorld Šablóna:Eng icon