Násobenie skalárom

Násobenie skalárom je základná operácia v lineárnej algebre, ktorá spočíva v násobení vektora alebo matice reálnym (alebo komplexným) číslom, nazývaným skalár.

Definícia

Ak máme vektor $v=\left[\begin{array}{c}{v}_1,v_2,...,v_n\end{array}\right]$ v $n$-rozmernom priestore a skalár $\lambda$, výsledkom násobenia skalárom je nový vektor, kde každá súradnica pôvodného vektora je vynásobená skalárom:

$\lambda v=\lambda \left[\begin{array}{c}{v}_1,v_2,...,v_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\lambda v_1,\lambda v_2,...,\lambda v_n\end{array}\right]$ Všeobecne platí:

• Ak $\lambda >0$, vektor si zachováva smer.
• Ak $\lambda <0$, vektor sa otočí do opačného smeru.
• Ak $\left|\lambda \right|>0$, vektor sa predĺži.
• Ak $0<\left|\lambda \right|<1$, vektor sa skráti.
• Ak $\lambda =0$, výsledkom je nulový vektor.

Príklad

Majme vektor $v=\left[\begin{array}{c}1,2,3,4\end{array}\right]$ a skalár $\lambda =4$. Potom:

$4v=4\left[\begin{array}{c}1,2,3,4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}4\times 1& 4\times 2& 4\times 3& 4\times 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4,8,12,16\end{array}\right]$