Látkový tok

Látkový tok vyjadruje počet molov častíc prechádzajúcich jednotkovou plochou za jednotku času. Označuje sa $\overrightarrow{J}(i)$, jednotkou látkového toku je mol . m^-2 . s^-1:

$[\overrightarrow{J}]=\frac{mol}{m^2{s}^{-1}}$

Keďže látkový tok (pohyb častíc) je možné vyvolať:

• pohybom fázy ako celku (miešaním roztoku, osmózou v póroch pevného materiálu), tzv. konvekciou,
• rozdielnou koncentráciou častíc v rôznach častiach roztoku, tzv. difúziou,
• elektrickým poľom pôsobiacim na nabité častice, tzv. migráciou.

Látkový tok $\overrightarrow{J}(i)$ tak pozostáva z troch príspevkov, ktoré sú navzájom nezávislé:

• konvektívny látkový tok $\overrightarrow{J_{kon}}(i)$ i-tej častice,
• difúzny látkový tok $\overrightarrow{J_{dif}}(i)$ i-tej častice,
• migračný látkový tok $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$ i-tej častice.

Tak môžeme písať:

$\overrightarrow{J}(i)=\overrightarrow{J_{kon}}(i)+\overrightarrow{J_{dif}}(i)+\overrightarrow{J_{mig}}(i)$

Konvektívny látkový tok

Konvenktívny príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{kon}}(i)$ je možné vyjadriť ako súčin vektoru rýchlosti translačného pohybu fázy ako celku $\overrightarrow{v}$ a objemovej koncentrácie i-tej častice $c(i)$:

$\overrightarrow{J_{kon}}(i)=\overrightarrow{v}\cdot c(i)$

Rozmer vektoru rýchlosti translačného pohybu fázy ako celku $[\overrightarrow{v}]$ je $[\overrightarrow{v}]=\frac{m}{s}$

a rozmer objemovej koncentrácie i-tej častice $[c(i)]$ je:

$[c(i)]=\frac{mol}{m^3}$

takže rozmer konvektívneho látkového toku $[\overrightarrow{J_{kon}}(i)]$ je rovnaký ako rozmer látkového toku $[\overrightarrow{J}]$ a je:

$[\overrightarrow{J_{kon}}(i)]=\frac{m}{s}\cdot \frac{mol}{m^3}$

čiže

$[\overrightarrow{J_{kon}}(i)]=\frac{mol}{s.m^2}$

Difúzny látkový tok

Difúzny príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{dif}}(i)$ je možné vyjadriť ako súčin vektoru rýchlosti difúzneho pohybu i-tej častice $\overrightarrow{v_{dif}}(i)$ a objemovej koncentrácie i-tej častice $c(i)$:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=\overrightarrow{v_{dif}}(i)\cdot c(i)$

Rozmer vektoru rýchlosti difúzneho pohybu i-tej častice $[\overrightarrow{v_{dif}}(i)]$ je

$[\overrightarrow{v_{dif}}(i)]=\frac{m}{s}$

a rozmer objemovej koncentrácie i-tej častice $[c(i)]$ je:

$[c(i)]=\frac{mol}{m^3}$

takže rozmer difúzneho látkového toku $\overrightarrow{J_{dif}}(i)$ je rovnaký ako rozmer látkového toku $[\overrightarrow{J}]$ a je:

$[\overrightarrow{J_{dif}}(i)]=\frac{m}{s}\cdot \frac{mol}{m^3}$

čiže

$[\overrightarrow{J_{dif}}(i)]=\frac{mol}{s.m^2}$

Odvodenie difúzneho látkového toku z 1. Fickovho zákona

Prvý Fickov zákon empiricky popisuje príspevok difúzie k látkovému toku:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=-D_i\cdot \mathrm{\nabla }{c}_i$

kde $D_i$ je difúzny koeficient i-tej častice, ktorého rozmer je

$[D_i]=\frac{m^2}{s}$

a $\mathrm{\nabla }{c}_i$ je gradient concentrácie i-tej častice, rozmer objemovej koncentrácie i-tej častice $[c(i)]$ je:

$[c(i)]=\frac{mol}{m^3}$. Keďže hnacou silou difúzie $\overrightarrow{F_{dif}}(i)$ je gradient chemického potenciálu $\mathrm{\nabla }{\mu }_i$:

$\overrightarrow{F_{dif}}(i)=-\mathrm{\nabla }{\mu }_i$,

čo podľa vzťahu pre chemický potenciál i-tej zložky a koncentráciu i-tej zložky c_i:

${\mu }_i=konst+RTln(c_i)$

možeme vzťah pre hnaciu silu difúzie prepísať:

$\overrightarrow{F_{dif}}(i)=-\frac{RT}{c_i}\mathrm{\nabla }{c}_i$

kde $\mathrm{\nabla }{c}_i$ je gradient objemovej koncentrácie i-tej častice.

Ekvivalentými úpravami dostaneme pre gradient objemovej koncentrácie $\mathrm{\nabla }{c}_i$:

$\mathrm{\nabla }{c}_i=-\overrightarrow{F_{dif}}(i)\frac{c(i)}{RT}$

dosadením do prvého Fickovho zákona:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=D_i\cdot \overrightarrow{F_{dif}}(i)\cdot \frac{c(i)}{RT}$

Vektor rýchlosti difúzneho pohybu i-tej zložky $\overrightarrow{v_{dif}}(i)$ je priamo úmerný hnacej sile difúzie i-tej zložky $\overrightarrow{F_{dif}}(i)$

$\overrightarrow{v_{dif}}(i)\propto \overrightarrow{F_{dif}}(i)$

pričom konštanta úmernosti je $u(i)$, čo je pohyblivosť častice i:

$\overrightarrow{v_{dif}}(i)=u(i)\cdot \overrightarrow{F_{dif}}(i)$

Pohyblivosť i-tej častice $u(i)$ a difúzny koeficinet i-tej častice sú priemo úmerné, kde konštantou úmernosti je 1/RT:

$u(i)=\frac{D_i}{RT}$

ak vyjadríme D_i ekvivalentnými úpravami:

$D_i=u(i).RT$

dosadením do prvého Fickovho zákona:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=u(i).RT\cdot \overrightarrow{F_{dif}}(i)\cdot \frac{c(i)}{RT}$

vykrátením RT:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=u(i)\cdot \overrightarrow{F_{dif}}(i)\cdot c(i)$

a využitím vzťahu vektoru rýchlosti difúzneho pohybu i-tej zložky $\overrightarrow{v_{dif}}(i)$ a hnacej sile difúzie i-tej zložky $\overrightarrow{F_{dif}}(i)$:

$\overrightarrow{J_{dif}}(i)=\overrightarrow{v_{dif}}(i)\cdot c(i)$

Migračný látkový tok

Migračný príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$ je možné vyjadriť ako súčin vektoru rýchlosti migračného pohybu i-tej častice $\overrightarrow{v_{mig}}(i)$ a objemovej koncentrácie i-tej častice $c(i)$:

$\overrightarrow{J_{mig}}(i)=\overrightarrow{v_{mig}}(i)\cdot c(i)$

Rozmer vektoru rýchlosti migračného pohybu i-tej častice $[\overrightarrow{v_{mig}}(i)]$ je

$[\overrightarrow{v_{mig}}(i)]=\frac{m}{s}$

a rozmer objemovej koncentrácie i-tej častice $[c(i)]$ je:

$[c(i)]=\frac{mol}{m^3}$

takže rozmer migračného látkového toku $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$ je rovnaký ako rozmer látkového toku $[\overrightarrow{J}]$ a je:

$[\overrightarrow{J_{mig}}(i)]=\frac{m}{s}\cdot \frac{mol}{m^3}$

čiže

$[\overrightarrow{J_{mig}}(i)]=\frac{mol}{s.m^2}$

Odvodenie migračného látkového toku

Migračný príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$, čo je konzervatívna sila, ktorej veľkosť je určená záporným gradientom skalárnej funkcie, ktorá je v tomto prípade elektrický potenciál $\phi$ :

$\overrightarrow{J_{mig}}(i)=-z_i\cdot F\cdot u(i)\cdot c_i\cdot \mathrm{\nabla }\phi$

kde $z_i$ je nábojové číslo i-tej častice, $F$ je Faradayova konštanta, $c_i$ je koncentrácia i-tek zložky.

Zároveň je vektor intenzity elektrického poľa $\overrightarrow{E}$ konzervatívna sila, ktorej veľkosť je určená záporným gradientom skalárnej funkcie, ktorá je v tomto prípade elektrický potenciál $\phi$ :

$\overrightarrow{E}=-\mathrm{\nabla }\phi$

Hnacou silou migrácie $\overrightarrow{F_{mig}}(i)$ i-tej zložky je gradient elektrického potenciálu (čiže elektrické napätie) $\phi$ a náboj $z_i\cdot F$, môžeme písať:

$\overrightarrow{F_{mig}}(i)=-z_i\cdot F\cdot \mathrm{\nabla }\phi$

preto pre migračný príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$ dostaneme:

$\overrightarrow{J_{mig}}(i)=\overrightarrow{F_{mig}}(i)\cdot u(i)\cdot c_i$

Vektor rýchlosti migračného pohybu i-tej zložky $\overrightarrow{v_{mig}}(i)$ je priamo úmerný hnacej sile migrácie i-tej zložky $\overrightarrow{F_{mig}}(i)$

$\overrightarrow{v_{mig}}(i)\propto \overrightarrow{F_{mig}}(i)$

pričom konštanta úmernosti je $u(i)$, čo je pohyblivosť častice i:

$\overrightarrow{v_{mig}}(i)=u(i)\cdot \overrightarrow{F_{mig}}(i)$

preto pre migračný príspevok k látkovému toku $\overrightarrow{J_{mig}}(i)$ dostaneme:

$\overrightarrow{J_{mig}}(i)=\overrightarrow{v_{mig}}(i)\cdot c_i$

Pozri aj

• konvekcia
• difúzia
• migrácia
• gradient
• difúzny koeficient
• pohyblivosť častice
• chemický potenciál
• elektrochemický potenciál
• elektrolytická pohyblivosť
• špecifická vodivosť
• prevodové číslo
• Faradyova konštanta
• Fickove zákony
• koncentrácia
• prúdová hustota
• elektrický potenciál
• podmienka elektroneutrality