Jacobiho integrál

Jacobiho konštanta, povrch a krivka nulových rýchlosti.

Rotujúci systém.

Jacobiho integrál alebo Jacobiho konštanta je v nebeskej mechanike jediným známym konzervatívnym riešením pre kruhovo obmedzený problém troch telies. Na rozdiel od problému s dvoma telesami všeobecné analytické riešenie nie je možné. Integrál sa použil na riešenie konkrétnych prípadov problému troch telies.

Pomenovaný je podľa nemeckého matematika Carl Gustav Jacob Jacobi.

V súradnicovom systéme (x, y, z), Jacobiho konštanta je:

$C_J=n^2(x^2+y^2)+2(\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2})-({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2)$

kde:

• n = 2*π/T, T je obežná doba
• μ₁ = G*m₁, μ₂ = G*m₂, pre hmotnosť m₁, m₂ a G je gravitačná konštanta 
• r₁, r₂ sú vzdialenosti
• ${\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2=v^2$ je štvorec rýchlosť v rotujúcom systéme

$2U=n^2(x^2+y^2)+2(\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2})$

potom

$C_J=2U-{\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2+{\dot{z}}^2=2U-v^2$

a pre v=0 možno vypočítať krivku alebo povrch s nulovou rýchlosťou

C_j = 2U

kde

$U(x,y,z)=\frac{n^2}{2}(x^2+y^2)+\frac{{\mu }_1}{r_1}+\frac{{\mu }_2}{r_2}$

U(x,y,z) je funkcia energie sústavy.

Zdroje

Tento článok je čiastočný preklad článku na anglickej Wikipédii.

• Carl D. Murray and Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], pages 68–71. (ISBN 0-521-57597-4)
• John L. Junkins & Hanspeter Schaub. (2000). Analytical mechanics of aerospace systems. Chapter 10.3.2 Zero-Relative-Velocity Surfaces