Izolovaný ordinál

Izolovaný ordinál je ordinálne číslo, ktoré má predchodcu alebo je rovný prázdnej množine. Formálnejšie:
Ordinálne číslo $\alpha$ je izolované, ak

$\alpha =0\vee (\mathrm{\exists }\beta \in On)(\beta \cup \{\beta \}=\alpha )$

On tu označuje triedu všetkých ordinálnych čísel.

Príklady

Každý konečný ordinál (tzn. každé prirodzené číslo) je izolovaný. Stačí si uvedomiť, že

• $1=0\cup \{0\}=\{0\}$
• $2=1\cup \{1\}=\{0,1\}$
• $3=2\cup \{2\}=\{0,1,2\}$
• $\dots$

Existujú ale i nekonečné izolované ordinály, napríklad ak označím ako $\omega$ množinu prirodzených čísel, ktorá je takisto ordinál, potom

$\omega +1=\{0,1,2,\dots ,\omega \}=\omega \cup \{\omega \}$ má predchodcu $\omega$

Podobne má $\omega +2$ predchodce $\omega +1$, takže opäť ide o izolovaný ordinál.

Naproti tomu existujú i ordinály, ktoré nie sú izolované. Takým ordinálom hovoríme limitný. Najmenším takým ordinálom je práve $\omega$, ale existujú i väčšie limitné ordinály – napríklad $\omega .2$, ${\omega }^2$ alebo $({\omega }^{\omega }{)}^{\omega }$.

Použitie

Rozdelenie ordinálnych čísel na limitné a izolované sa často používa v dôkazoch transfinitnej indukcíe a v konštrukciách transfinitnej rekurzie, kde je prevedený zvláštny krok (z predchodcu na následníka) pre izolovaný ordinál a zvláštny krok (z množiny všetkých menších ordinálov na ich supremum) pre limitný ordinál.

Pozri aj

• Limitný ordinál
• Ordinálne číslo
• Ordinálna aritmetika
• Transfinitná indukcia
• Transfinitná rekurzia