Hyperbolometrická funkcia

Hyperbolometrické funkcie sú funkcie inverzné k funkciám hyperbolickým. Ide o funkcie argument hyperbolického sínusu (argsinh x), argument hyperbolického kosínusu (argcosh x), argument hyperbolického tangensu (argtanh x) a argument hyperbolického kotangensu (argcoth x).

Argument hyperbolického sínusu (argsinh x)

Funkcia $y=\arg \sinh x$

Definičný obor

$x\in ℝ$

Obor hodnôt

$y\in ℝ$

Parita

Nepárna (inverzná funkcia k nepárnej funkcii je nepárna funkcia)

Identita

$\arg \sinh x=\ln (x+\sqrt{x^2+1})$

Argument hyperbolického kosínusu (argcosh x)

Funkcia $y=\arg \cosh x$

Definičný obor

$1\le x<\mathrm{\infty }$

Obor hodnôt

$0\le y<\mathrm{\infty }$

Parita

Ani nepárna ani párna

Identita

$\arg \cosh x=\ln (x+\sqrt{x^2-1})$

Argument hyperbolického tangensu (argtanh x)

Funkcia $y=\arg \tanh x$

Definičný obor

$-1<x<1$ Resp. $|x|<1$

Obor hodnôt

$y\in ℝ$

Parita

Nepárna (inverzná funkcia k nepárnej funkcii je nepárna funkcia)

Identita

$\arg \tanh x=\frac{1}{2}\ln \frac{1+x}{1-x}$

Argument hyperbolického kotangensu (argcoth x)

Funkcia $y=\arg \coth x$

Definičný obor

$|x|>1$

Obor hodnôt

$y=ℝ-\{0\}$

Parita

Nepárna (inverzná funkcia k nepárnej funkcii je nepárna funkcia)

Identita

$\arg \coth x=\frac{1}{2}\ln \frac{x+1}{x-1}$

Identity

$\arg \sinh x$	$=\arg \cosh \sqrt{x^2+1}(x\ge 0)$
	$=-\arg \cosh \sqrt{x^2+1}(x<0)$
	$=\arg \tanh \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\arg \cosh x=\arg \sinh \sqrt{x^2-1}=\arg \tanh \frac{\sqrt{x^2-1}}{x}(x\ge 0)$

$\arg \tanh x=\sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(x\ge 0)$

$\arg \tanh x$	$=\arg \sinh \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}(|x|<1)$
	$=\arg \cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(0\le x<1)$
	$=-\arg \cosh \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}(-1<x\le 0)$
	$=\arg \coth \frac{1}{x}(-1<x<1,x=0)$

$\arg \coth x$	$=\arg \sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}(x>1)$
	$=-\arg \sinh \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}(x<-1)$
	$=\arg \cosh \frac{x}{\sqrt{x^2-1}}(x>1)$
	$=\arg \tanh \frac{1}{x}(|x|>1)$

$\arg \sinh x\pm \arg \sinh y=\arg \sinh (x\sqrt{1+y^2}\pm y\sqrt{1+x^2})$

$\arg \cosh x\pm \arg \cosh y=\arg \cosh (xy\pm \sqrt{(1+x^2)(y^2-1)})(x\ge 1,y\ge 1)$

$\arg \tanh x\pm \arg \tanh y=\arg \tanh \frac{x\pm y}{1\pm xy}(|x|<1,|y|<1)$

Derivácia

$(\arg \sinh x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$

$(\arg \cosh x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}(x>1)$

$(\arg \tanh x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}(|x|<1)$

$(\arg \coth x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}(|x|>1)$

Integrál

$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\mathrm{d}x=\arg \sinh x+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm{d}x=\arg \cosh x+C(x>1)$

$\int \frac{1}{1-x^2}\mathrm{d}x$	$=\arg \tanh x+C(|x|<1)$
	$=\arg \coth x+C(|x|>1)$