Harmonické číslo

Harmonické číslo alebo presnejšie $n$-té harmonické číslo je hodnota súčtu obrátených hodnôt všetkých prirodzených čisel menších alebo rovných $n$. Bežne sa označuje symbolom $H_n$. Presne je definované vzťahom

$H_n=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{i}$.

Harmonické čísla a ich vlastnosti študovali už antickí matematici. Dnes zohrávajú dôležitú úlohu v rozmanitých odvetviach teórie čísel. O harmonických číslach sa niekedy nesprávne hovorí ako o harmonickom rade. V skutočnosti sú iba čiastkovými súčtami harmonického radu. Tesne súvisia s Riemannovou zeta funkciou a vyskytujú sa v predpisoch niektorých špeciálnych funkcií.

Vlastnosti

• Hodnoty harmonických čísel rastú asymptoticky rovnako rýchlo ako hodnota prirodzeného logaritmu.
• Platí $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{H}_n-\ln (n)=\gamma$ kde $\gamma$ je Eulerova-Mascheroniova konštanta.

Vytvárajúca funkcia

Vytvárajúca funkcia harmonických čísel je

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n{H}_n=\frac{-\ln (1-z)}{1-z}$

Referencie

• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.

Zdroj

Šablóna:Preklad (harmonic divisor number, Ore's harmonic number)