Gaussov integrál

Graf ƒ(x) = e^−x2 a plochy medzi funkciou a osou x; táto plocha sa rovná $\sqrt{\pi }$

Gaussov integrál (iné názvy: Eulerov-Poissonov integrál, Poissonov integrál) je integrál Gaussovej funkcie e^−x2 cez celú reálnu os, teda

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }.$

Meno tomuto integrálu dali matematici Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler a Siméon Denis Poisson.

Výpočet

Integrál Gaussovej funkcie

$Y=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-x^2}\mathrm{d}x$

upravíme zámenou premennej a vynásobením, takže dostaneme

$Y^2=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-(x^2+y^2)}\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$

Po prechode k polárnym súradniciam možno predchádzajúci vzťah zapísať ako

$Y^2=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\varphi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\rho {\mathrm{e}}^{-{\rho }^2}\mathrm{d}\rho =\pi$

Odtiaľ dostaneme

$Y=\sqrt{\pi }$

Referencie

Literatúra

• Kvasnica J. Matematický aparát fyziky. 1. vyd. Praha: Academia, 1989, ISBN 80-200-0088-7