Eliptický valec

Eliptický valec je v eulidovskej geometrii 3-rozmerný priestorový útvar, ktorý má namiesto bežnej kruhovej podstavy, podstavu eliptickú. Na rozdiel od valca s kruhovou podstavou, eliptický valec nemožno vykonštruovať rotáciou. Jedná sa o objekt s kvadratickým povrchom. Polovičný výsek eliptického valca ktorého predná stena začína na tečne polos $a$ a $b$ teda v bode $S$ a pokračujúc priamo s polosou $b$, je paraboloidný valec. Za určitých podmienok je z geometrického hľadiska paraboloidný valec, presnou polovicou eliptického valca.

Súradnice eliptického valca

Súradnice eliptického valca sú založené na 3-rozmerných ortogonálnych súradniciach v euklidovskom priestore, čo znamená, že oproti 2D súradniciam elipsy, má eliptický valec namiesto rozmerov $x$ a $y$, tri rozmery $x$, $y$ a $z$. Bežná definícia ortogonálnych súradníc eliptického valca je:

$x=a\cosh \mu \cos \nu$

$y=a\sinh \mu \sin \nu$

$z=z$

kde:

$\mu$ je nezáporné reálne číslo

$\nu \in [0,2\pi ]$

Obsah plášťa a obvod podstavy

Vzorec č.1:

$A_L=4ahE(\sqrt{1-(\frac{b}{a}{)}^2})$

Vzorec č.2:

$A_L=O\cdot h$

kde:

$a$ a $b$ sú hlavné a vonkajšie polosi

$h$ je výška

$O$ je obvod podstavy (elipsy) ktorý vypočítame ako:

$O=4a\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}\sqrt{1-e^{2}si{n}^2\theta d\theta }$ kde $e=\sqrt{1-b^2/a^2}$ je číselná excentricita elipsy a funkcia $E$ je druhý kompletný eliptický integrál

Alebo ho vypočítame ako:

$O\approx \pi (\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab})$

$E(k)$ je druhý kompletný eliptický integrál ktorý vypočítame ako:

$E(k)=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sqrt{1-k^{2}si{n}^2\theta d\theta }$ kde $k=sin\alpha$

Objem a povrch

$V=\pi abh$

$A_T\approx 2\pi ab+\pi h[\frac{3}{2}(a+b)-\sqrt{ab}]$

$A_T=A_L+2\pi ab$

$A_T=2A+A_L$

kde:

$A$ je obsah podstavy (elipsy)