Einsteinov vzťah

Rovnica vo Walk of Ideas v roku 2006 v Nemecku

E = mc² na taipeiskom mrakodrape Taipei 101 pri príležitosti Svetového roku fyziky 2005

Einsteinov vzťah je zákon vyjadrujúci vzťah medzi energiou $E$ a hmotnosťou $m$ telesa:

$E=m\cdot c^2$

kde c je rýchlosť svetla. Einsteinov vzťah má základný význam v modernej fyzike a astrofyzike; dokazuje, že hmotnosť telesa je mierou obsahu jeho energie.

Rovnica E = mc² opísaná Albertom Einsteinom v špeciálnej teórii relativity patrí medzi najslávnejšie rovnice všetkých dôb; poznajú ju aj ľudia, ktorí sa inak o vedu nezaujímajú. Táto rovnica sa stala akýmsi „maskotom vedy“, používa sa ako príklad „zložitej vedy“, čo pravdaže jej zložitosť preceňuje.

Rovnica popisuje vzťah medzi energiou a hmotnosťou:

Energia = hmotnosť · (rýchlosť svetla)²

Podľa tejto rovnice je celkové množstvo energie, ktorú možno z telesa získať, rovné hmotnosti telesa vynásobené druhou mocninou rýchlosťou svetla. V praxi však možno hmotu na energiu prevádzať obvykle len s výrazne nižšou účinnosťou, preto množstvo získanej energie nikdy nedosahuje tejto úrovne. Pri bežných spôsoboch získavania energie (napr. v jadrových elektrárňach) sa totiž na energiu nepremení všetka hmota, časť (obvykle drvivá väčšina) pôvodnej hmoty zostáva ako „odpad“. Príkladom teoreticky úplnej premeny je reakcia hmoty s antihmotou.

Ako historickú zaujímavosť je možné uviesť, že v pôvodnej podobe Einstein túto rovnicu napísal v tvare m = L / c² (pre energiu použil označenie L namiesto E).

Množstvo energie v jednom kilograme (ľubovolnej) hmoty je teda

• 89 875 517 873 681 764 J (≈ 90 PJ) alebo
• 24 965 421 632 kWh (≈ 25 TWh ≈ celková ročná spotreba elektrickej energie na Slovensku v r. 2005),
• čo odpovedá energii uvoľnenej pri výbuchu viac než 21 megaton TNT.

Odvodenie

Keďže mnoho ľudí vidí v tejto rovnici niečo nepochopiteľného až nadľudského, k jej odvodeniu stačia iba základy integrálneho počtu.

Vyjdeme zo vzťahu pre kinetickú energiu E_k:

$E_k=W=\underset{{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(v_1=0)}{\overset{{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(v_2\ne 0)}{\int }}𝐅\mathrm{d}𝐫=\underset{{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}}{\overset{{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}}{\int }}\frac{\mathrm{d}𝐩}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}𝐫=\underset{{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}}{\overset{{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}}{\int }}𝐯\mathrm{d}𝐩=$

$=\underset{{𝐫}_{\mathrm{𝟏}}(v_1=0)}{\overset{{𝐫}_{\mathrm{𝟐}}(v)}{\int }}𝐯\mathrm{d}(m\cdot 𝐯)=$.

Uvažujeme o pôsobení sily rovnobežne s dráhou telesa, možno vynechať vektory:

$=\underset{0}{\overset{v}{\int }}v(v\mathrm{d}m+m\mathrm{d}v)=\underset{0}{\overset{v}{\int }}(v^2\mathrm{d}m+mv\mathrm{d}v)$,

druhý člen možno upraviť podľa vzťahu pre relativistickú hmotnosť:

$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$,

$m^2=\frac{m_0^2}{\frac{c^2-v^2}{c^2}}$,

$m^2(c^2-v^2)=m_0^2{c}^2$.

Urobíme diferenciál tejto rovnice,

$2m(c^2-v^2)\mathrm{d}m+m^2(-2v\mathrm{d}v)=0$,

$(c^2-v^2)\mathrm{d}m=mv\mathrm{d}v$

a dosadíme do pôvodnej rovnice:

$E_k=\underset{0}{\overset{v}{\int }}(v^2\mathrm{d}m+(c^2-v^2)\mathrm{d}m)=\underset{0}{\overset{v}{\int }}(v^2\mathrm{d}m+c^2\mathrm{d}m-v^{2}dm)=$

$=\underset{0}{\overset{v}{\int }}{c}^2\mathrm{d}m=c^2\underset{0}{\overset{v}{\int }}1\mathrm{d}m=c^2[m{]}_0^v=c^2(m-m_0)$

$E_k=m{c}^2-m_0{c}^2$.

Na ľavej strane je kinetická energie, $m_0{c}^2$ je pokojová energia (chemická, jadrová, potenciálna).

$E=E_k+E_0=m{c}^2$

je teda celková energia telesa.