Diferenciálna rovnica

Diferenciálna rovnica je matematická rovnica, v ktorej ako premenné vystupujú derivácie funkcií. Diferenciálne rovnice tvoria základy fyzikálnych výpočtov a sú používané vo väčšine oblastí ľudského poznania (pozri napríklad Schrödingerovu rovnicu).

Definícia

Diferenciálnou rovnicou nazývame každú rovnicu, ktorá je zapísateľná v tvare
$F(x,y,y^{\prime },\cdots ,y^{(n)})=0$
Rovnica teda obsahuje premenné, funkcie, konštanty i derivácie funkcií. Podľa stupňa derivácie, ktorú rovnica obsahuje rozlišujeme rády diferenciálnych rovníc.

Druhy diferenciálnych rovníc

Základné rozdelenie diferenciálnych rovníc je podľa typu obsiahnutých derivácii:

• obyčajné diferenciálne rovnice (skr. ODR alebo ODE) — rovnice obsahujúce derivácie len podľa jednej premennej.
• parciálne diferenciálne rovnice (skr. PDR alebo PDE) — obsahujú derivácie podľa viacerých premenných.
• stochastické diferenciálne rovnice (skr. SDR alebo SDE) — rovnice zahŕňajúce najmenej jeden stochastický proces
• diferenciálne algebrické rovnice (skr. DAE) — diferenciálne rovnice, v ktorých sa nachádzajú aj čisto algebrické vedľajšie podmienky.

Rád diferenciálnej rovnice

Rád diferenciálnej rovnice je rád najvyššej derivácie, ktorá je v nej obsiahnutá.

Matematická teória diferenciálnych rovníc sa zaoberá existenciou riešení, jednoznačnosťou riešení, závislosťou riešení na počiatočných a krajných podmienkach.

Vo fyzike a ďalších aplikáciách je zaujímavé najmä získanie analytického riešenia, teda napríklad funkcie $x(t)$, ktorá rovnicu rieši. Ak taká funkcie nejde analyticky vyjadriť, potom je nutné numerické riešenie diferenciálnych rovníc.

Príklady

1. príklad

Typickým príkladom diferenciálnej rovnice prvého rádu je rovnica
$x^{\prime }\left(t\right)+x\left(t\right)=0$
kde pod $x^{\prime }(t)$ rozumieme deriváciu funkcie $x(t)$. Rovnica sa rieši ekvivalentnými úpravami. Z rovnice sa snažíme vyjadriť funkciu $x(t)$:
$\begin{array}{ccc}\frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}+x(t)& =& 0\\ \frac{\text{d}x(t)}{\text{d}t}& =& -x(t)\\ \frac{\text{d}x(t)}{x(t)}& =& -\text{d}t\end{array}$

Rovnica je upravená. Použili sme tzv. separovanie premenných. K finálnemu tvaru riešenia dospejeme integrovaním oboch strán rovnice:

$\int \frac{\text{d}x(t)}{x(t)}=-\int \text{d}t$

Poznámka: Integrály daných funkcií počítame podľa tabuľkových integrálov:

$\int \frac{\text{d}x(t)}{x(t)}=\ln (x(t))$
$-\int \text{d}t=-t+\ln |C|$

Poznámka: Konštanta C je vyjadrená v logaritme. Konštanta sa píše v tvare, v akom je funkcia $x(t)$

Teraz vypočítané integrály dosadíme a vyjadríme funkciu $x(t)$:

$\begin{array}{ccc}\ln (x(t))& =& -t+\ln |C|\\ \ln x(t)-\ln |C|& =& -t\\ \ln \frac{x(t)}{|C|}& =& -t\\ {\text{e}}^{-t}& =& \frac{x(t)}{|C|}\\ x(t)& =& |C|\cdot {\text{e}}^{-t}\end{array}$
V tomto riešení sa vyskytuje konštanta, ktorú sme schopní dopočítať zo začiatočných podmienok. Obvykle sa zadáva začiatočná podmienka $x(0)$.

2. príklad

Riešme diferenciálnu rovnicu $y^{\prime }(x)=\frac{y(x)}{x}$ bez začiatočných podmienok. Opäť ako v prvom príklade, aj tu sa snažíme separovať premenné tým spôsobom, že $y(x)$ oddelíme na jednu stranu a ostatné na druhú:

$\begin{array}{ccc}\frac{\text{d}y(x)}{\text{d}x}& =& \frac{y(x)}{x}\\ \frac{\text{d}y(x)}{y(x)}& =& \frac{\text{d}x}{x}\end{array}$

Premenné sú oddelené, môžeme integrovať $\int \mathrm{\backslash limits}\frac{\text{d}y(x)}{y(x)}=\int \frac{\text{d}x}{x}$ a dostaneme rovnicu:

$\begin{array}{ccc}\ln y(x)& =& \ln x+\ln |C|\\ \ln y(x)& =& \ln |C|\cdot x\\ y(x)& =& |C|\cdot x\end{array}$

Softvér

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)