Derivácia v smere

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí - parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f(\overrightarrow{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

v smere vektora

$\overrightarrow{v}=(v_1,\dots ,v_n)$

je funkcia definovaná ako limita

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(\overrightarrow{x}+h\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})$ alebo ${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode $\overrightarrow{x}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora $\overrightarrow{v},$ pričom platí

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})=\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{v}$,

kde $\mathrm{\nabla }$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Vlastnosti

Pre derivácie v smere platia viaceré vlastnosti, ktoré platia pre klasické derivácie funkcií jednej reálnej premennej alebo pre parciálne derivácie. Konkrétne, nech f a g sú funkcie definované na okolí bodu p a diferencovateľné v p. Potom platia nasledujúce vlastnosti:

• $\frac{\partial (f+g)}{\partial \overrightarrow{v}}(p)=\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(p)+\frac{\partial g}{\partial \overrightarrow{v}}(p)$
• Pre ľubovoľnú konštantu c: $\frac{\partial (cf)}{\partial \overrightarrow{v}}(p)=c\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(p)$
• $\frac{\partial (fg)}{\partial \overrightarrow{v}}(p)=g(p)\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(p)+f(p)\frac{\partial g}{\partial \overrightarrow{v}}(p)$
• Ak g je diferencovateľná v p a h je diferencovateľná v bode g(p), tak

$\frac{\partial (h\circ g)}{\overrightarrow{v}}(p)=h^{\prime }(g(p))\frac{\partial g}{\overrightarrow{v}}(p)$

Pozri aj

• Parciálna derivácia
• Gradient

Externé odkazy

• Článok o deriváciách v smere na stránkach Wolfram MathWorld Šablóna:Eng icon.