Comptonov jav

Schematické znázornenie Comptonovho javu. Fotón po zrážke a elektrónom e^- stratí časť svojej energie, čím sa zmení aj jeho vlnová dĺžka o hodnotu Δλ = λ´ - λ, závislá od odchýlky fotónu φ.

Comptonov jav alebo Comptonov rozptyl je rozptyl fotónov na voľnom alebo slabo viazanom elektróne vo vyššej energetickej hladine, pri ktorom fotón odovzdáva časť svojej energie elektrónu. Pri inverznom Comptonovom jave fotón získava časť energie vysokoenergetického elektrónu. Vlnová dĺžka rozptýlených fotónov sa pri Comptonovom jave vzhľadom na pôvodnú zmení o Δλ v závislosti od odchýlky fotónu φ od pôvodného smeru:

Δλ = 2Λ_c. sin² φ/2

kde Λ_c = h/ m_ec

je tzv. Comptonova vlnová dĺžka pre rozptyl na elektróne s hmotnosťou m_e, c rýchlosť svetla a h Planckova konštanta (pre elektrón Λc_e = 0,002426 nm). Comptonov jav bol jedným z prvých experimentálnych dôkazov kvantového charakteru svetla. V astrofyzike má Comptonov jav význam ako proces, ktorý mení spektrálne rozdelenie žiarenia v riedkom, veľmi ionizovanom plyne. Inverzným Comptonovým javom sa vysvetľuje napríklad mechanizmus žiarenia röntgenových zdrojov.

Presný postup odvodenia

Zo zákona zachovania energie platí:

$h{\nu }_0+m_0{c}^2=h\nu +m{c}^2$,

$m{c}^2=h{\nu }_0-h\nu +m_0{c}^2$,

$(m{c}^2{)}^2=(h{\nu }_0-h\nu +m_0{c}^2{)}^2$

$m^2{c}^4=h^2{\nu }_0^2+h^2{\nu }^2-2h^2\nu {\nu }_0-2h\nu m_0{c}^2+2h{\nu }_0{m}_0{c}^2$, ...(1)

Zákon zachovania hybnosti vo vektorovom tvare

$\frac{h{\nu }_0}{c}{I}_0=\frac{h\nu }{c}I+mv$,

$(mv{)}^2={(\frac{h{\nu }_0}{c}{I}_0-\frac{h\nu }{c}I)}^2$, kde I sú jednotkové vektory v danom smere

$m^2{v}^2={\left(\frac{h{\nu }_0}{c}\right)}^2{I}_0{I}_0\cos (0)+{\left(\frac{h\nu }{c}\right)}^{2}II\cos (0)-2h^2\frac{\nu {\nu }_0}{c^2}I{I}_0\cos \varphi$

$m^2{v}^2{c}^2=(h{\nu }_0{)}^2+(h\nu {)}^2-2h^2{\nu }_0\nu \cos (\varphi )$,

$-m^2{v}^2{c}^2=-(h{\nu }_0{)}^2-(h\nu {)}^2+2h^2{\nu }_0\nu \cos (\varphi )$, ... (2)

Do rovnice 2 priratáme (1) a na ľavej strane dáme pred zátvorku patričný člen:

$m^2{c}^4(1-\frac{{\nu }^2}{c^2})=m_0^2{c}^4+2h^2\nu {\nu }_0\cos (\varphi )-2h^2\nu {\nu }_0+2h{\nu }_0{m}_0{c}^2-2h\nu m_0{c}^2$,

Z teórie relativity platí

$m^2(1-v^2/c^2)=m_0^2$,

Potom platí:

$m_0^2{c}^4=m_0^2{c}^4-2h^2{\nu }_0\nu (1-\cos (\varphi ))+2h{m}_0{c}^2({\nu }_0-\nu )$,

$2h^2{\nu }_0\nu (1-\cos (\varphi ))=2h{m}_0{c}^2({\nu }_0-\nu )$,

$h{\nu }_0\nu (1-\cos (\varphi ))=m_0{c}^2({\nu }_0-\nu )$,

$\frac{h{\nu }_0}{m_0{c}^2}\nu (1-\cos \varphi )={\nu }_0-\nu$,

$\frac{h}{m_0{c}^2}(1-\cos \varphi )=\frac{{\nu }_0-\nu }{{\nu }_0\nu }$,

použitím vlnovej dĺžky miesto frekvencie

$\frac{h}{m_0{c}^2}(1-\cos \varphi )=\frac{c(\frac{1}{{\lambda }_0}-\frac{1}{\lambda })}{c^2(\frac{1}{{\lambda }_0}\frac{1}{\lambda })}$,

$\frac{h}{m_{0}c}(1-\cos \varphi )=\lambda -{\lambda }_0$,

a teda

$\frac{2h}{m_{0}c}\left({\sin }^2\frac{\varphi }{2}\right)=\lambda -{\lambda }_0$,