Cauchyho postupnosť

Cauchyho postupnosť (iné názvy: fundamentálna postupnosť, cauchyovská postupnosť, bolzanovská postupnosť) je postupnosť bodov daného metrického priestoru, ktorej prvky sú k sebe od určitého miesta ľubovoľne blízko. Každá konvergentná postupnosť je cauchyovská. Úplný metrický priestor sa definuje ako priestor, v ktorom je aj každá cauchyovská postupnosť konvergentná.

Definícia

Nech je daný metrický priestor $(X,d)$. Postupnosť $(x_i{)}_{i\in \mathbb{N}}$ v $X$ sa nazýva Cauchyho, ak platí:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }N\in \mathbb{N}\mathrm{\forall }m,n\in \mathbb{N}:m>N,n>N⟹d(x_m,x_n)<\epsilon .$

Šablóna:Matematický výhonok