Cauchyho-Schwarzova nerovnosť

Cauchyho-Schwarzova nerovnosť (iné názvy:Buňakovského nerovnosť, Cauchyho-Buňakovského nerovnosť, Schwarzova nerovnosť, Cauchyho-Buňakovského-Schwarzova nerovnosť) je matematická nerovnosť pochádzajúca z oblasti lineárnej algebry, ktorá má širokú škálu aplikácií napríklad v matematickej analýze, či teórii pravdepodobnosti. Všeobecná formulácia Heisenbergovho princípu neurčitosti je odvodená na základe Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti v Hilbertovom priestore čistých kvantových stavov.

Znenie nerovnosti

Nech x a y sú vektory daného unitárneho priestoru nech $⟨x,y⟩$ označuje skalárny súčin vektorov x a y v danom unitárnom priestore. Potom Cauchyho-Schwarzova nerovnosť hovorí, že

$|⟨x,y⟩{|}^2\le ⟨x,x⟩\cdot ⟨y,y⟩.$

Odmocnením oboch strán nerovnosti (skalárny súčin je vždy nezáporný) je možné dostať ekvivalentný tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti:

$|⟨x,y⟩|\le \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert ,$

kde $\Vert x\Vert$ je norma vektora x.

Dôležité špeciálne prípady

Asi najčastejšie využívaným špeciálnym tvarom Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti je jej formulácia pre euklidovský priestor ${ℝ}^n$. V takomto prípade dostávame

${\left(\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{x}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{y}_i^2\right),$

čo býva niekedy označované ako diskrétny tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Ďalej, relatívne často používaným špeciálnym prípadom je priestor $L^2$, v ktorom má nerovnosť tvar

${|\int f(x)g(x)dx|}^2\le \int {|f(x)|}^{2}dx\cdot \int {|g(x)|}^{2}dx,$

čo býva označované aj ako spojitý tvar Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti.

Externé odkazy

• Článok o Cauchyho-Schwarzovej nerovnosti Šablóna:Webarchive na PlanetMath Šablóna:Eng icon
• Článok o nerovnosti na Wolfram MathWorld Šablóna:Eng icon
• Cauchyho-Schwarzova nerovnosť