Bernoulliho schéma

Bernoulliho schéma sa používa na výpočet pravdepodobnosti pri opakovanom pokuse. Urobíme sériu nezávislých náhodných pokusov, v ktorých nastáva sledovaný výsledok, náhodný jav $A$, s pravdepodobnosťou $P(A)=p$, $0<p<1$. Pravdepodobnosť, $P_n(k)$ toho, že sa v sérii vyskytne náhodný jav $A$ práve k-krát, $k=0,1,2,...,n$ je rovná

$P_n(k)=\left(\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ , $0\le k\le n$

Príklady

Príklad č.1: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve 4-krát padne číslo 6?

Keďže ide o sériu nezávislých javov (daný hod nezávisí od predchádzajúceho), môžeme použiť Bernoulliho schému. Pravdepodobnosť priaznivého javu je $\frac{1}{6}$ a pravdepodobnosť nepriaznivého javu je $\frac{5}{6}$. (Pretože môžu padnúť čísla 1,2,3,4 alebo 5.)

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^4(\frac{5}{6}{)}^6=210\cdot \frac{1}{6^4}\cdot \frac{5^6}{6^6}=\frac{210\cdot 5^6}{6^{10}}\doteq 0,05$

Teda pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne práve 4-krát číslo $6$ je $5\mathrm{\%}$.

Príklad č.2: Hádžeme hracou kockou 10-krát. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň 4-krát padne číslo $6$? V tomto prípade sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že padne číslo $6$ aspoň $4$ krát, teda vlastne sa pýtame, aká je pravdepodobnosť, že číslo $6$ padne 4-krát, alebo 5-krát, alebo 6-krát, alebo 7-krát, alebo 8-krát, alebo 9-krát, alebo 10-krát?

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^4(\frac{5}{6}{)}^6+\left(\begin{array}{c}10\\ 5\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^5(\frac{5}{6}{)}^5+\left(\begin{array}{c}10\\ 6\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^6(\frac{5}{6}{)}^4+\left(\begin{array}{c}10\\ 7\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^7(\frac{5}{6}{)}^3+\left(\begin{array}{c}10\\ 8\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^8(\frac{5}{6}{)}^2+\left(\begin{array}{c}10\\ 9\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^9(\frac{5}{6})+\left(\begin{array}{c}10\\ 10\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^{10}\doteq 0,07$

Pravdepodobnosť, že z 10 hodov hracou kockou padne aspoň 4-krát číslo $6$ je $7\mathrm{\%}$.

Príklad č.3: Hádžeme hracou kockou 3-krát. Aká je pravdepodobnosť, že práve raz padne číslo $3$?

$P(A)=\left(\begin{array}{c}3\\ 1\end{array}\right)(\frac{1}{6}{)}^1(\frac{5}{6}{)}^2=\frac{25}{72}\doteq 0,347$

Pravdepodobnosť, že z $3$ hodov hracou kockou padne práve raz číslo $3$ je $34,7\mathrm{\%}$.

Príklad č.4: Strelec trafí cieľ s pravdepodobnosťou $0,7$ pričom vystrelil $10$ krát. Aká je pravdepodobnosť, že trafil ciel práve 4-krát?

$P(A)=\left(\begin{array}{c}10\\ 4\end{array}\right)(0,7{)}^4(0,3{)}^6=0,036$

Pravdepodobnosť, že z $10$ výstrelov trafí práve 4-krát cieľ je $3,6\mathrm{\%}$.

Príklad č.5: Na teste v autoškole je $30$ otázok z ktorých v každej z nich sú na výber $3$ odpovede, pričom správna je vždy len jedna. Uchádzač o vodičský preukaz uspeje, ak označí správne aspoň $27$ otázok. Je takéto testovanie spoľahlivé ?

Aspoň $27$ znamená $27$ alebo $28$ alebo $29$ alebo $30$.

$P(A)=\left(\begin{array}{c}30\\ 3\end{array}\right)(\frac{2}{3}{)}^3(\frac{1}{3}{)}^{27}+\left(\begin{array}{c}30\\ 2\end{array}\right)(\frac{2}{3}{)}^2(\frac{1}{3}{)}^{28}+\left(\begin{array}{c}30\\ 1\end{array}\right)(\frac{2}{3}{)}^1(\frac{1}{3}{)}^{29}+\left(\begin{array}{c}30\\ 0\end{array}\right)(\frac{2}{3}{)}^0(\frac{1}{3}{)}^{30}\doteq 0$

Ak by uchádzač prišiel na test nepripravený a náhodne by vyberal otázky, pravdepodobnosť, že si tipne aspoň $27$ otázok správne je prakticky nulová, teda test je spoľahlivý.

Pozri aj

• Problém náhrdelníka
• Problém šatniarky