Bellova nerovnosť

Bellova nerovnosť je nerovnosť, ktorú spĺňajú určité spinové korelácie v lokálne realistických teóriách. Je dielom írskeho fyzika J. S. Bella. Má tvar:

$n({\alpha }_{+}{\beta }_{+})\le n({\alpha }_{+}{\gamma }_{+})+n({\beta }_{+}{\gamma }_{+})$.

Pozrime sa bližšie na jej odvodenie. Nech $N(+++)$ je počet častíc v našom teste s hodnotami ${\alpha }_{+}$, ${\beta }_{+}$, ${\gamma }_{+}$ (a obdobne pre ďalšie kombinácie orientácií). Nech $N({\alpha }_{+}{\beta }_{+})$ označuje počet častíc s ${\alpha }_{+}$, ${\beta }_{+}$ a s neurčenou hodnotou $\gamma$ (a podobne). Potom platí

$N({\alpha }_{+}{\beta }_{-})=N(+-+)+N(+--),N({\alpha }_{+}{\gamma }_{-})=N(++-)+N(+--),N({\beta }_{-}{\gamma }_{+})=N(+-+)+N(--+)$.

Pretože všetky $N$ sú nezáporné (ide o počty prípadov), musí platiť

$N({\alpha }_{+}{\beta }_{-})\le N({\alpha }_{+}{\gamma }_{-})+N({\beta }_{-}{\gamma }_{+})$.

Ak si uvedomíme, že pokiaľ má jedna z častíc ${\alpha }_{+}$, musí mať druhá častica z páru ${\alpha }_{-}$ atď. Veličiny $n$ sú úmerné súčtom dvojíc $N$:

$\frac{n({\alpha }_{+}{\beta }_{+})}{N({\alpha }_{+}{\beta }_{-})+N({\alpha }_{-}{\beta }_{+})}=\frac{n({\alpha }_{+}{\gamma }_{+})}{N({\alpha }_{+}{\gamma }_{-})+N({\alpha }_{-}{\gamma }_{+})}=\frac{n({\beta }_{+}{\gamma }_{+})}{N({\beta }_{+}{\gamma }_{-})+N({\beta }_{-}{\gamma }_{+})}$.

Potom zo zmienenej nerovnosti

$N({\alpha }_{+}{\beta }_{-})\le N({\alpha }_{+}{\gamma }_{-})+N({\beta }_{-}{\gamma }_{+})$

a z podobnej nerovnosti so zamenenými symbolmi + a – vyplýva napokon vzťah pre Bellovu nerovnosť:

$n({\alpha }_{+}{\beta }_{+})\le n({\alpha }_{+}{\gamma }_{+})+n({\beta }_{+}{\gamma }_{+})$.