Asociatívnosť

Asociatívnosť je v algebre vlastnosť binárnej operácie, spočívajúca v tom, že nezáleží, ako použijeme zátvorky pri výraze, kde je viac operandov, alebo v akom poradí budeme výraz počítať.

Definícia

Binárna operácia * je na množine S asociatívna, ak platí:

$\mathrm{\forall }x,y,z\in S(x*y)*z=x*(y*z).$

Príklady

Najznámejšie príklady asociatívnych binárnych operácií sú sčítanie (a+b) a násobenie (a.b) reálnych čísel.

$(2+3)+8=5+8=13=2+11=2+(3+8)$

$(7\cdot 3)\cdot 2=21\cdot 2=42=7\cdot 6=7\cdot (3\cdot 2)$

Ďalšie ukážky asociatívnych binárnych operácií sú napríklad: sčítanie a násobenie komplexných čísel, sčítanie vektorov, prienik a zjednotenie množín.

Medzi binárne operácie, ktoré nie sú asociatívne, patrí napríklad odčítanie (a-b), delenie (a:b) a umocňovanie (a^b) čísel alebo vektorové násobenie vektorov.

$2-(3-1)=0\ne -2=(2-3)-1$.

$2^{(2^3)}=2^8=256\ne 64=4^3=(2^2{)}^3$

Pri neasociatívnych operáciách je potrebné buď dôsledne používať zátvorky, alebo sa dohodnúť na implicitnom poradí vykonávaných operácií - potom sa niekedy hovorí o operáciách asociatívnych zľava alebo asociatívnych sprava. Z uvedených príkladov je odčítanie ľavo asociatívne, výraz $10-5-3$ sa chápe ako $(10-5)-3$, naopak umocňovanie je asociatívne sprava, $2^{3^4}=2^{\left(3^4\right)}$ (pretože ľavá asociativita by nebola pri umocňovaní bola užitočná - rovnaký výsledok sa dá vďaka pravidlám pre mocniny zapísať pomocou súčinu exponentov: $(2^3{)}^4=2^{3\cdot 4}$).

Pozri aj

• Komutatívnosť
• Distributívnosť
• Aritmetika
• Algebrická štruktúra

Externé odkazy

• Asociatívnosť v encyklopédii MathWorld Šablóna:Eng