Absolútna hodnota (reálne a komplexné číslo)

Graf funkcie absolútnej hodnoty reálnych čísel

Absolútna hodnota reálneho čísla x je hodnota x s odstráneným znamienkom. Takže napríklad 3 je absolútnou hodnotou čísla 3, ale aj -3. V matematike sa absolútna hodnota zapisuje ako $y=|x|$. V informatike a v matematike pri použití absolútnej hodnoty ako funkcie je bežnejší zápis $y=\text{abs}(x)$.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a od nuly. Pri takomto pohľade vyplynie i definícia absolútnej hodnoty komplexného čisla.

Reálne čísla

Pre každé reálne číslo a je jeho absolútna hodnota $|a|$ rovná:

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{ak }a\ge 0\\ -a,& \text{ak }a<0\end{array}$

Alternatívny zápis absolútnej hodnoty využitím Iversonovych zatvoriek je

$|x|=x([x>0]-[x<0]).$

Ako je možné z uvedenej definície vidieť, absolútna hodnota bude vždy kladná alebo nulová, nikdy záporná.

Z geometrického pohľadu je možné definovať absolútnu hodnotu ako vzdialenosť bodu a na reálnej osi od nuly, alebo všeobecnejšie absolútna hodnota rozdielu dvoch reálnych čísel je vzdialenosť medzi nimi.

Absolútna hodnota má nasledujúce vlastnosti:

1. $|a|\ge 0$
2. $|a|=\max \{-a,a\}$
3. $|a|=|-a|$
4. $|a|=\sqrt{a^2}$
5. $|ab|=|a|.|b|$
6. $\left|a^n\right|={|a|}^n$ (pre každé prirodzené n)
7. $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ (ak $b\ne 0$)
8. $|a+b|\le |a|+|b|$ (trojuholníková nerovnosť)
9. $|a-b|\ge ||a|-|b||$
10. $|a|\le b⟺-b\le a\le b$
11. $|a|\ge b⟺a\le -b\vee b\le a$

Komplexné čísla

Pretože komplexné čísla netvoria usporiadanie, predchádzajúca definícia nemôže byť priamo zovšeobecnená aj na ne. Avšak vďaka tomu že platí

$|a|=\sqrt{a^2}$

je možné formulovať nasledujúcu definíciu. Pre každé komplexné číslo

$z=x+iy$

je jeho absolútna hodnota |z| rovná

$|z|=\sqrt{x^2+y^2}$.