Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy

Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je parciálna diferenciálna rovnica ktorá vychádza zo zachovania hybnosti v kontinuu. Platí pre transport hybnosti v ľubovoľnom kontinuu, kde sa neuplatňujú relativistické javy.

$\rho (\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯)=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\overrightarrow{\sigma }}+𝐟$

kde $\rho$ je hustota kontinua, $\overrightarrow{\overrightarrow{\sigma }}$ je tenzor napätia, a $𝐟$ je vektor objemových síl, obvykle predstavovaných gravitáciou. $𝐯$ je vektorové pole rýchlostí kontinua a má za premenné čas a súradnice systému.

Po rozložení tenzora napätia na izotropnú a neizotropnú časť, dostaneme:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\overrightarrow{\sigma }}=-\mathrm{\nabla }p+\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\overrightarrow{\tau }}$

kde $\overrightarrow{\overrightarrow{\tau }}$ je tenzor viskózneho (tangenciálneho) napätia a $p$ je tlak (normálové napätie).

Všetky rovnice popisujúce nerelativistické kontinuum vychádzajú z Cauchyho rovnice dynamickej rovnováhy. Cauchyho rovnica dynamickej rovnováhy je jednou zo základných rovníc popisujúcich transportné fenomény. Pri praktickom použití narážame na prekážky – analytické vyjadrenie tenzora napätia je zolžité, alebo neznáme, preto sa rovnica priamo nepoužíva. Po dosadení patričného vzťahu pre viskozitu dostaneme Navier-Stokesovu rovnicu.

Pokiaľ je kontinuum ideálne (napätie je predstavované len tlakom),
v stacionárnom stave $(\frac{\partial 𝐯}{\partial t}=0)$
a mimo gravitačného pôsobenia ($𝐟=0$) dostaneme rovnicu:

$\rho 𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯=-\mathrm{\nabla }p$

Táto rovnica je Bernoulliho rovnica v diferenciálnom tvare a po integrácii dostaneme konvenčný tvar:

$p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$

Vidíme tak, že Bernoulliho rovnica je dôsledkom zachovávania hybnosti v sústave, ak vyhovuje niektorým zjednodušeniam.

Odvodenie Cauchyho rovnice

Napíšeme si Zákon sily pre element objemu V, ak $\mathrm{\Sigma }$ je plocha, ktorá ho obopína:

$dm{a}_i=d{F}_i$

$\rho \underset{V}{\int }\frac{d{v}_i}{dt}dV={\oint }_{\mathrm{\Sigma }}{\sigma }_{ij}dS+\underset{V}{\int }{f}_{i}dV$

Po aplikácii Gaussovej-Ostrogradského vety a sčítaní všetkých zložiek dostaneme

$\rho \frac{d𝐯}{dt}=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\overrightarrow{\sigma }}+𝐟$

Keďže vektorové pole rýchlosti $𝐯(𝐫,t)$ je závislé od polohy aj od času, derivuje sa zložená funkcia:

$\frac{d𝐯(𝐫,t)}{dt}=\frac{\partial 𝐯(𝐫,t)}{\partial t}+\frac{\partial 𝐯(𝐫,t)}{\partial 𝐫}\frac{\partial 𝐫}{\partial t}=\frac{\partial 𝐯(𝐫,t)}{\partial t}+\mathrm{\nabla }𝐯(𝐫,t)\cdot 𝐯(𝐫,t)$

Po dosadení do odvodenej rovnice zachovania:

$\rho (\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+𝐯\cdot \mathrm{\nabla }𝐯)=\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{\overrightarrow{\sigma }}+𝐟$

Q.E.D.

Literatúra

• Šesták, J., Rieger, F.: Přenos hybnosti, tepla a hmoty, ČVUT Praha 1998