Greenova-Taova veta

Greenova-Taova veta je veta z oblasti aditívnej teórie čísel, podľa ktorej množina prvočísel obsahuje konečné aritmetické postupnosti ľubovolnej dĺžky. Inak povedané, pre každé prirodzené číslo $k$ existuje $k$-prvková aritmetická postupnosť pozostávajúca výhradne z prvočísel. Greenova-Taova veta je špeciálnym prípadom Erdősovej-Turánovej hypotézy.

Historické poznámky

• Vetu dokázali Ben Green a Terence Tao v roku 2004.
• V roku 2006 dokázali Tao a Tamar Ziegler silnejšie tvrdenie, podľa ktorého pre ľubovoľnú $k$-ticu polynomických funkcii bez absolútneho člena $P_1,P_2,\dots ,P_k$ nadobúdajúcich iba celočíselné hodnoty existuje nekonečne veľa celých čísel $x$ a $m$ takých, že všetky hodnoty $x+P_1(m),x+P_2(m),\dots ,x+P_k(m)$ sú prvočíselné.

Zaujímavosti

Greenova-Taova veta je príkladom existenčného tvrdenia. Veta iba garantuje existenciu podpostupnosti určitej dĺžky, nehovorí však nič o tom, ako táto postupnosť vyzerá. Nájsť príklad dostatočne dlhej aritmetickej postupnosti v prvočíslach nie je jednoduchá úloha. Ku dňu 18.1.2007 je najdlhšou známou aritmetickou postupnoťou v prvočíslach 24-prvková postupnosť

$\{468395662504823+205619\cdot 223092870\cdot n{\}}_{n=0,1,\dots ,23}$

Pozri aj

• Szemerédiho veta
• Terence Tao

Externé odkazy

• Komentáre na MathWorld-e (anglicky)