Greenove identity

Greenove identity sú a súbor troch identít vo vektorovej analýze. Sú pomenovné po matematikovi Georgovi Greenovi, ktorý objavil Greenovu vetu.

Prvá Greenova identita

Táto identita je odvodená z Gaussovej vety aplikovanej na vektorové pole $𝐅=\psi \mathrm{\nabla }\varphi$: Ak platí, že φ má spojitú druhú deriváciu, a ψ má spojitú prvú deriváciu, na množine U, potom:

$\underset{U}{\int }\left(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi \right)dV={\oint }_{\partial U}\left(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}\right)dS-\underset{U}{\int }(\mathrm{\nabla }\varphi \cdot \mathrm{\nabla }\psi )dV$

Druhá Greenova identita

Ak φ a ψ majú obe spojité druhé derivácie na U, potom:

$\underset{U}{\int }(\psi {\mathrm{\nabla }}^2\varphi -\varphi {\mathrm{\nabla }}^2\psi )dV={\oint }_{\partial U}(\psi \frac{\partial \varphi }{\partial n}-\varphi \frac{\partial \psi }{\partial n})dS$

Tretia Greenova identita

Greenova tretia identita je odvodená z druhej ak položíme $\varphi (.)=\frac{1}{|𝐱-.|}$ a ${\mathrm{\nabla }}^2\varphi =-4\pi \delta (𝐱-.)$ v R³: Ak ψ má spojitú druhú deriváciu na U .

${\oint }_{\partial U}[\frac{1}{|𝐱-𝐲|}\frac{\partial \psi }{\partial n}(𝐲)-\psi (𝐲)\frac{\partial }{\partial n_{𝐲}}\frac{1}{|𝐱-𝐲|}]d{S}_{𝐲}-\underset{U}{\int }[\frac{1}{|𝐱-𝐲|}{\mathrm{\nabla }}^2\psi (𝐲)]d{V}_{𝐲}=k$

k = 4πψ(x) ak x ∈ leží v U, 2πψ(x) ak x ∈ ∂U a má dotyčnicu v x, nule a všade inde.