Rovnica (matematika)

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

Znak rovná sa

Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
$f^{\prime }(x_0):=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

Základné definície

• Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x₁, x₂…x_n (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
• Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a₀, a₁…a_n (často označované ako a, b, c…)
• Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
• Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
• Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

Premenná, neznáma, parameter

Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:

• neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
• parametre = ostatné premenné

Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

Delenie podľa počtu neznámych

• rovnica s jednou neznámou
• rovnica s viacerými neznámymi

Delenie podľa riešiteľnosti

• všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
• riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
• neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x² = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

Delenie podľa typu zobrazení F a f

• algebrická rovnica
• nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)

Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice

Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych x^T = (x₁, x₂…x_n) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor a^T = (a₀, a₁…a_n), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a₀x₀ + a₁x₁ +…+ a_nx_n = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
a^Tx = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A = $\left(\begin{array}{ccc}{a}_{0prvejrovnice}& a_{1prvejrovnice}& a_{2prvejrovnice}...\\ a_{0druhejrovnice}& a_{1druhejrovnice}& a_{2druhejrovnice}...\\ ...\\ a_{0poslednejrovnice}& a_{1poslednejrovnice}& a_{2poslednejrovnice}...\end{array}\right)$

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b

Vysvetlivky

• tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
• T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

Riešenie rovnice

Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:

• Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
• Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.

Príklady počítania rovníc

Príklad č.1:

$5-7x=0$

Postup:

1. Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak: $5-7x=0\to -7x=-5$
2. Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7: $-7x=-5\to x=\frac{5}{7}$
3. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $x=\frac{5}{7}=0,7142857143$

Príklad č.2:

$x^2=3y+x$

Postup:

1. Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $x^2=3y+x\to x^2-3y=x\to -3y=x-x^2$
2. Vydelíme obe strany rovnice číslom -3: $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}{x}^2$
3. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}{x}^2,x\in ℝ$
4. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}{x}^2,x\in ℝ$

Príklad č.3:

$(x+y{)}^2=?$

Postup:

1. Do premenných $x$ a $y$ dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme $x=2$ a $y=3$.
2. Čísla si dosadíme do vzorca: $(x+y{)}^2=(2+3{)}^2$ Ďalej: $(2+3{)}^2=5^2=25$
3. Ďalej: $x^2=4$ a $y^2=9$.
4. Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou: $25=2^2+2\cdot 2\cdot 3+3^2$
5. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $(x+y{)}^2=x^2+2xy+y^2$

Príklad č.4:

$1116=94y+38n$

Postup:

1. Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $1116=94y+38n\to 1116-94y=38n$
2. Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: $1116=94y+38n\to -94y=38n-1116$
3. Obe strany rovnice vydelíme číslom -94: $y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47}$
4. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47},n\in ℝ$
5. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-\frac{19}{47}n+\frac{558}{47},n\in ℝ$

Príklad č.6:

$\frac{5x-3}{4}=\frac{4x-3}{3}$

Postup:

1. Rovnicu zjednodušíme násobením do kríža: $3(5x-3)=4(4x-3)$
2. Prvú zátvorku vynásobime číslom 3: $15x-9=4(4x-3)$
3. Druhú zátvorku vynásobime číslom 4: $15x-9=16x-12$
4. Premennnú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $15x-9-16x=-12$
5. Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: $15x-16x=-12+9$
6. Časť $15x-16x$ zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: $-x=-12+9$
7. Vypočítame súčet: $-x=-3$. Ďalej vynásobime obe strany rovnice číslom -1: $-x\cdot -1=-3\cdot -1=3$
8. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $x=3$

Príklad č.7:

$(x^5+3y+2x)=(5y+x^3)$

Postup:

1. Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $x^5+3y+2x-5y=x^3$
2. Premenné $x^5$ a $2x$ prenesieme na pravú stranu a zmeníme ich znaky: $3y-5y=x^3-x^5-2x$
3. Časť $3y-5y$ zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: $-2y=x^3-x^5-2x$
4. Obe strany rovnice vydelíme číslom -2: $y=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^5+x$
5. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^5+x,x\in ℝ$
6. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-\frac{1}{2}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^5+x,x\in ℝ$