Priemer (matematika)

Pojem priemer v matematike označuje vypočítanú hodnotu zo všetkých alebo len z určitej časti prvkov množiny, ktorá môže byť tvorená nielen skalárnymi veličinami, ale aj funkciami a pod. Táto matematická metóda má využitie hlavne v štatistike a pravdepodobnosti, teórii množín, geometrii, matematickej analýze ai. Priemer sa zvyčajne označuje vodorovnou čiarou nad písmenom premennej, napr. $\overline{x}$, $\tilde{p}$ a pod. V prípade, že je nutné uviesť aj druh priemeru je zvykom túto informáciu zapísať v ľavom dolnom indexe, napr. ${}_{\text{ap}}\overline{x}$ pre aritmetický priemer a obdobne, ale nie je to záväzné pravidlo.

Tento článok uvádza stručné definície najbežnejších priemerov používaných v matematike.

Aritmetický priemer

Zrejme najčastejšie používaný druh priemeru, ktorý spočíva v podiele súčtu prvkov množiny a počtom prvkov v množine. V anglofónnom prostredí často označovaný ako AM (arithmetic mean).

$\tilde{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}+x_n}{n}$

Príklad pre množinu $M=\{5,12,15,28,30\}$:

$\overline{x}=\frac{5+12+15+28+30}{5}=\frac{90}{5}=18$.

Geometrický priemer

Geometrický priemer je definovaný pre každé $x_i>0$. Označovaný aj ako GM (geometric mean).

$\overline{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}=(x_1\times x_2\times \cdots \times x_{n-1}\times x_n{)}^{\frac{1}{n}}$

Príklad pre množinu $M=\{5,12,15,28,30\}$:

$\overline{x}=(5\times 12\times 15\times 28\times 30{)}^{\frac{1}{5}}=756000^{\frac{1}{5}}\approx 14.986$

Harmonický priemer

Tento priemer pracuje s prevrátenými hodnotami a značí sa aj ako HM (harmonic mean).

$\overline{x}=n{\left(\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_1}\right)}^{-1}=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_{n-1}}+\frac{1}{x_n}}$

Príklad pre množinu $M=\{5,12,15,28,30\}$:

$\overline{x}=\frac{5}{\frac{1}{5}+\frac{1}{12}+\frac{1}{15}+\frac{1}{28}+\frac{1}{30}}\approx 11.931$.

Tri predchádzajúce priemery sú súhrnne nazývané pytagorejské pretože sa s nimi už zaoberali antickí pytagorejci a ich nasledovatelia.

Vzťahy medzi týmito tromi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

$\max \ge \text{AM}\ge \text{GM}\ge \text{HM}\ge \min$.

Kvadratický priemer

Často označovaný ako RMS (root mean square) alebo QM (quadratic mean).

$\overline{x}=\sqrt{\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^2}=\sqrt{\frac{1}{n}(x_1^2+x_2^2+\dots +x_{n-1}^2+x_n^2)}$.

Príklad pre množinu $M=\{5,12,15,28,30\}$:

$\overline{x}=\sqrt{\frac{1}{5}(5^2+12^2+15^2+28^2+30^2)}=\sqrt{0.2\times 2078}=\sqrt{415.6}\approx 20.386$.

Vzťahy medzi predchádzajúcimi priemermi vyjadrené nerovnicou sú:

$\max \ge \text{QM}\ge \text{AM}\ge \text{GM}\ge \text{HM}\ge \min$.

Minkowského vzorec

Generalizovaný vzorec pre výpočet aritmetického, kvadratického a harmonického priemeru zaviedol do matematiky nemecký matematik Hermann Minkowski.

${\overline{x}}_p={\left(\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i^p\right)}^{\frac{1}{p}}={\left(\frac{x_1^p+x_2^p+\dots +x_{n-1}^p+x_n^p}{n}\right)}^{\frac{1}{p}}$

kde $p\ne 0$. Pre aritmetický priemer $p=1$, pre harmonický $p=-1$ a pre kvadratický $p=2$, ale obdobne je možné pomocou tohto vzorca vypočítať kubický priemer, kvartický priemer a pod.

Aritmeticko-geometrický priemer

AGM je definovaný pre dve dve kladné čísla $x$ a $y$, pre ktoré platí $x\ge y\ge 0$. Formálne je AGM definovaný ako limita dvoch nezávislých sekvencií $a_i$ a $g_i$, ktoré konvergujú k rovnakej hodnote.

$\begin{array}{cc}{a}_0& =x\\ g_0& =y\\ a_{n+1}& =\frac{1}{2}(a_n+g_n)\\ g_{n+1}& =\sqrt{a_n{g}_n}\\ \end{array}$.

Aritmeticko-harmonický priemer

AHM, respektíve ním generované sekvencie $a_i$ a $h_i$ konvergujú k hodnote geometrického priemeru $x$ a $y$.

$\begin{array}{cc}{a}_0& =x\\ h_0& =y\\ a_{n+1}& =\frac{a_n+h_n}{2}\\ h_{n+1}& =\frac{2a_n{h}_n}{a_n+h_n}\\ \end{array}$.

Geometricko-harmonický priemer

GHM je definovaný pre dve kladné čísla $x$ a $y$.

$\begin{array}{cc}{g}_0& =x\\ h_0& =y\\ g_{n+1}& =\sqrt{g_n{h}_n}\\ h_{n+1}& =\frac{2g_n{h}_n}{g_n+h_n}\\ \end{array}$.

Pre AGM, AHM a GHM platí nerovnica$\min (x,y)\le H(x,y)\le GHM(x,y)\le (G(x,y)=AHM(x,y))\le AGM(x,y)\le A(x,y)\le \max (x,y)$

Herónov priemer

Herónov priemer, využívaný hlavne v geometrii, je definovaný pre dve nezáporné reálne čísla $x$ a $y$, priemer je pomenovaný podľa Heróna z Alexandrie. Vypočíta sa podľa vzorca

$\overline{h}=\frac{1}{3}(x+\sqrt{xy}+y)$