Hilbertov priestor

Hilbertovský priestor je vektorový priestor so skalárnym súčinom, ktorý je navyše úplný vzhľadom na metriku týmto skalárnym súčinom indukovanej.

Príklady

• Priestor usporiadaných reálnych $n$-tíc ${ℝ}^n$ spolu so štandardným skalárnym súčinom $⟨𝐱,𝐲⟩={\sum }_{i=1}^n{x}_i{y}_i$ je Hilbertov priestor

• Vo funkcionálnej analýze sa študujú príklady nekonečne generovaných Hilbertových priestorov. Napríklad priestor ${\ell }^2(\mathbb{N})=\{𝐱\in {ℂ}^{\mathbb{N}}|\sum _{i\in \mathbb{N}}|x(i){|}^2<\mathrm{\infty }\}$ všetkých kvadraticky sumovateľných komplexných postupností spolu s vnútorným súčinom $⟨𝐱,𝐲⟩=\sum _{i\in 𝐍}\overline{x(i)}y(i)$.

Časté nedorozumenia

Nie je pravda, že Hilbertove priestory sú nutne nekonečne generované. Táto mylná predstava o obsahu pojmu Hilbertov priestor je však mimoriadne častá a to hlavne v komunite fyzikov. Je totiž pravda, že fyzikálne zaujímavé sú práve rôzne lineárne priestory funkcií ktoré konečne generované nie sú.

Pozri aj

• Unitárny priestor