Doplnenie na štvorec

Súbor:Completing the square.ogv

Doplnenie na štvorec alebo doplnenie do štvorca^[1] je úloha z oblasti matematickej analýzy, pri ktorej podstatou je zmena polynómu 2. stupňa, teda kvadratického trojčlena na tvar štvorca.

Využíva sa rovnosť: $a x^{2} + b x + c = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ ktorá platí za predpokladu, že $a \neq 0$ pre každé číslo $x$ .

Dôkaz rovnosti

Stačí spočítať štvorec (čiže druhú mocninu) na pravej strane.

$a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = a (x^{2} + 2 x \frac{b}{2 a} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}) + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = a x^{2} + b x + \frac{b^{2}}{4 a} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a} = a x^{2} + b x + c$

V praxi sa obyčajne nepoužíva uvedený vzorec, akoby sme ho vedeli naspamäť.

Príklady

1). Upravte na štvorec kvadratický polynóm $x^{2} + 6 x + 10 = (x^{2} + 6 x + 9) + 1 = (x + 3)^{2} + 1$ . A teda platí $(x + 3)^{2} + 1 \geq 1$ , pričom rovnosť nastáva práve keď $x = - 3$ . V prvom kroku sme použili sčítanec $9$ preto, že sme chceli dostať $x^{2} + 6 x + 9 = (x + 3)^{2}$ .

2). O niečo komplikovanejším výpočtom dostaneme výsledok ak upravujeme výraz $7 x^{2} - 3 x + 12 = 7 (x^{2} - \frac{3}{7} x) + 12 = 7 (x^{2} - \frac{3}{7} x + (\frac{3}{14})^{2}) - 7 (\frac{3}{14})^{2} + 12 = 7 (x - \frac{3}{14})^{2} + \frac{327}{28} \geq \frac{327}{28}$ pre všetky $x$ . Pritom $7 x^{2} - 3 x + 12 = \frac{327}{28}$ práve vtedy, keď $x = \frac{3}{14}$ .

3). Podobne $- 2 x^{2} + 5 x + 11 = - 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x) + 11 = - 2 (x^{2} - \frac{5}{2} x + (\frac{5}{4})^{2}) + 2 (\frac{5}{4})^{2} + 11 = - 2 (x - \frac{5}{4})^{2} + \frac{113}{8} \leq \frac{113}{8}$ pre každé $x$ , pričom rovnosť $- 2 x^{2} + 5 x + 11 = \frac{113}{8}$ platí práve vtedy a len vtedy, keď $x = \frac{5}{4}$ .

Všeobecne ak $a > 0$ , tak číslo $a x^{2} + b x + c$ je najmenšie pre $x = - \frac{b}{2 a}$ , pričom pre $x = - \frac{b}{2 a}$ je $a x^{2} + b x + c = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}$ .

4). Chceme nájsť také číslo $x$ , aby $2 x^{2} + 8 x - 13$ bolo najmenšie, počítame $2 x^{2} + 8 x - 13 = 2 (x^{2} + 4 x) - 13 = 2 (x^{2} + 4 x + 4) - 8 - 13 = 2 (x + 2)^{2} - 21$ . Vidíte, že $2 x^{2} + 8 x - 13$ je najmenšie, keď $x = - 2$ . Ak $x = - 2$ , tak $2 x^{2} + 8 x - 13 = - 21$ .

Referencie

↑ Šablóna:Citácia knihy

Zdroj

I. KLUVÁNEK: Prípravný kurz k diferenciálnemu a integrálnemu počtu. Ružomberok, Pedagogická fakulta Katolíckej univerzity v Ružomberku. 2006, s. 60-62

Pozri aj

[1] Šablóna:Citácia knihy

[1]

Doplnenie na štvorec

Obsah

Dôkaz rovnosti

Príklady

Referencie

Zdroj

Pozri aj

Navigačné menu

Doplnenie na štvorec

Dôkaz rovnosti

Príklady

Referencie

Zdroj

Pozri aj

Navigačné menu

Hľadať