Základná veta aritmetiky

Základná veta aritmetiky je matematická veta, ktorá tvrdí, že každé prirodzené číslo väčšie než 1 možno jednoznačne rozložiť na súčin prvočísiel.

Presná formulácia

Pre každé prirodzené číslo $x$ existuje práve jedna skupina prirodzených čísel väčších než 0: $n,m_1,m_2,\dots ,m_n$ a práve jedna skupina podľa veľkosti zoradených prvočísiel: $p_1<p_2<\dots <p_n$ tak, že

$p_1^{m_1}.p_2^{m_2}.p_3^{m_3}.\dots .p_n^{m_n}=x$

Náčrt dôkazu

Tvrdenie sa dokazuje matematickou indukciou:

• pre prvočísla veta triviálne platí - prvočíslo p možno rozložiť práve jedným spôsobom: $p=p^1$
• pokiaľ platí pre všetky $i\le x$, potom $x+1$ je buď prvočíslo, alebo súčin nejakých dvoch menších čísiel - spojením ich jednoznačných prvočíselných rozkladov získame určite minimálne jeden rozklad
• zostáva dokázať, že tento rozklad je jednoznačný - dokazuje sa sporom (pokiaľ pre $x+1$ existujú dva rôzne rozklady, potom museli existovať dva rôzne rozklady tiež pre nejaké menšie číslo, čo je v spore s indukčným predpokladom)

Pozri aj

• Prvočíslo
• Faktorizácia
• Najväčší spoločný deliteľ
• Najmenší spoločný násobok