Frobeniova veta (matice)

Frobeniova veta je tvrdenie, ktoré určuje, za akých podmienok má systém lineárnych rovníc riešenie.

Definícia

Nech je daný systém m lineárnych rovníc s n neznámymi nad poľom F:

a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} + . . . + a_{1 n} x_{n} = c_{1}

a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} + . . . + a_{2 n} x_{n} = c_{2}

:

a_{m 1} x_{1} + a_{m 2} x_{2} + . . . + a_{m n} x_{n} = c_{m}

kde $a_{i, j} \in F, c_{i} \in F$ pre všetky : $i = 1, 2, . . ., m, j = 1, 2, . . ., n$

Systém rovníc je riešiteľný práve vtedy, keď hodnosť matice systému sa rovná hodnosti rozšírenej matice systému.

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 8 & 9 \end{matrix})$

Vyššie uvedená matica má jedno riešenie, lebo h(A) = 3, h(A′) = 3 a neobsahuje nulový riadok. Matica

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix})$

má riešenie, lebo h(A) = 2, h(A′) = 2 a je ich nekonečne veľa, pretože obsahuje nulový riadok. Avšak matica

$(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & 0 & 8 \end{matrix})$

riešenie nemá, pretože h(A) = 2, h(A′) = 3, teda hodnosť matice systému sa nerovná hodnosti rozšírenej matice systému.

Hans, J. Bartsch: Matematické vzorce. Praha, SNTL - Nakladatelství technické literatury. 1987, s. 197
P. Horák - Ľ. Niepel: Prehľad matematiky. Bratislava, Vydavateľstvo technickej a ekonomickej literatúry. 1982, s. 165-167

Riešenie sústavy lineárnych rovníc Aplikácia, ktorá vypočíta riešenie dvoch a viacerých lineárnych rovníc.
Frobeniova veta (matice)