Multinomická veta

Pre každé prirodzené číslo m a každé nezáporné celé číslo n multinomická veta hovorí, ako vyzerá súčet m čísiel umocnený na n-tú:

$(x_1+x_2+\cdots +x_m{)}^n=\sum _{k_1+k_2+\cdots +k_m=n}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})x_1^{k_1}{x}_2^{k_2}\cdots x_m^{k_m}.$

kde

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k_1,k_2,\dots ,k_m})=\frac{n!}{k_1!k_2!\cdots k_m!}$

sa nazýva multinomický koeficient a jeho hodnota sa dá chápať ako počet rôznych zoradení m druhov predmetov, $k_i$ je počet predmetov i-teho druhu a $k_1+\cdots +k_m=n$.

Príklad

$(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.$

koeficienty pri mocninách možno dostať po dosadení do multinomickej vety:

$a^2{b}^0{c}^1$ má koeficient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2,0,1})=\frac{3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}=\frac{6}{2\cdot 1\cdot 1}=3$

$a^1{b}^1{c}^1$ má koeficient $(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1,1,1})=\frac{3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}=\frac{6}{1\cdot 1\cdot 1}=6$.

Pozri aj

• Binomická veta
• Pascalov trojuholník
• Polynóm

Externé odkazy

• Základy kombinatoriky