Projekčná matica (matematika)

Projekčná matica (alebo skrátene tiež projektor) je v lineárnej algebre a matematickej analýze lineárne zobrazenie (lineárny operátor) $𝐏$, ktoré je symetrické a idempotentné. Ide o štvorcovú maticu rozmeru $n\times n$. Tieto matice majú okrem lineárnej algebry veľký význam napríklad aj v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike, pretože vďaka nim vieme vyjadrovať projekcie vektorov na rôzne lineárne podpriestory.

Definícia

Majme lineárny podpriestor $𝒜\subset {𝐑}^n$. Maticu $𝐏$ nazývame projektorom (projekčnou maticou) na tento lineárny podpriestor $𝒜$ práve vtedy, ak sú splnené nasledovné podmienky:

1. Matica $𝐏$ je symetrická, teda: ${𝐏}^T=𝐏$
2. Matica $𝐏$ je idempotentná, teda: ${𝐏}^2=𝐏$
3. Projekčná matica $𝐏$ zobrazí každý vektor do daného lineárneho podpriestoru, teda: $\mathrm{\forall }𝐱\in R^n$: $𝐏𝐱\in 𝒜$
4. Každý prvok, ktorý už leží v danom podpriestore $𝒜$ zobrazí projekčná matica na ten istý prvok, teda: $\mathrm{\forall }𝐲\in 𝒜:𝐏𝐲=𝐲$

Ďalšie vlastnosti

Uvažujme projektor $𝐏$ definovaný v definícii vyššie. Ak preň platí ešte nasledovná podmienka:

$\mathrm{\forall }𝐱,𝐲\in {𝐑}^n:⟨𝐱,𝐏y⟩=⟨𝐏x,𝐲⟩$

tak hovoríme, že daný projektor je ortogonálny vzhľadom na uvedený skalárny súčin.

Pokiaľ máme maticu $𝐌$, ktorá je typu $n\times m$, pričom jej hodnosť je $m$, tak potom matica $𝐏$ určená nasledovným vzťahom:

$𝐏=𝐌({𝐌}^T𝐌{)}^{-1}{𝐌}^T$

je ortogonálny projektor na podpriestor $𝒜(𝐌)$, ktorý je generovaný lineárne nezávislými stĺpcami matice $𝐌$, a na ktorom je definovaný skalárny súčin $⟨𝐚,𝐛⟩={𝐚}^T𝐛$.

Literatúra

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Citácia elektronického dokumentu
• Šablóna:Citácia elektronického dokumentuŠablóna:Nedostupný zdroj

Šablóna:Lineárna algebra