Hotellingovo rozdelenie

Hotellingovo rozdelenie (iné názvy: Hotellingovo pravdepodobnostné rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie pravdepodobnosti, Hotellingovo $T^2$-rozdelenie, Hotellingovo rozdelenie $T^2$, Hotellingovo rozdelenie T, Hotellingovo $T^2$, Hotellingovo T, Hotellingovo zovšeobecnené Studentovo rozdelenie) je v teórii pravdepodobnosti a matematickej štatistike viacrozmerné rozdelenie pravdepodobnosti. Hottelingovo rozdelenie je zovšeobecnením Studentovho t-rozdelenia pre $p$-rozmerný priestor.

Hotellingovo $T^2$ rozdelenie má v matematickej štatistike významné postavenie a využitie. Najčastejšie sa používa pri testovaní štatistických hypotéz, vo viacrozmerných štatistických analýzach. Rozdelenie je pomenované podľa matematikovi Haroldovi Hotellingovi.

Definícia

Majme štvorcovú regulárnu maticu A $p$-teho stupňa a $p$-rozmerný vektor b. Nech má táto matica $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s $m$ stupňami voľnosti, teda: $𝐀\sim W_p(𝐈,m)$ a daný vektor nech má p-rozmerné normálne rozdelenie, teda: $𝐛\sim N_p(\mathrm{𝟎},𝐈)$. Potom premenná $\alpha$ definovaná vzťahom:

$\alpha =m{𝐛}^{\prime }{𝐀}^{-1}𝐛$

má Hotellingovo $T^2$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Označenie:

• $\mathrm{\alpha }\sim T^2(p,m)$

Ďalšie vzťahy

Majme matice A a B, pričom A má $p$-rozmerné normálne rozdelenie s parametrami $\mathit{\mu }$ a $\mathrm{\Sigma }$ a B nech má $p$-rozmerné Wishartovo rozdelenie s parametrom $\mathrm{\Sigma }$ a $m$ stupňami voľnosti, teda: $𝐀\sim N_p(\mathit{\mu },\mathrm{\Sigma })$ a $𝐁\sim W_p(\mathrm{\Sigma },m)$, pričom A a B sú nezávislé. Potom premenná vyjadrená nasledovným vzťahom:

$Y=m(𝐀-\mathit{\mu }{)}^{\prime }{𝐁}^{-1}(𝐀-\mathit{\mu })$

má Hotellingovo $T^2$ rozdelenie s parametrami $p$ a $m$.

Existuje vzťah medzi Hotellingovým $T^2$ rozdelením a Fisherovým-Snedecorovým rozdelením, a to:

$T^2(p,m)=\frac{mp}{m-p+1}F(p,m-p+1)$

Teda z uvedeného vzťahu vidíme, že pokiaľ položíme parameter p = 1, tak dostávame rovnosť medzi týmito dvomi rozdeleniami, teda:

${\mathrm{T}}^2(1,m)=F(1,m)$

Zdroje

• Šablóna:Citácia knihy
• Šablóna:Preklad