Alef 0

${\mathrm{\aleph }}_0$ (Alef 0) (v rovnakom význame sa používa aj ${\omega }_0$ či len $\omega$) je najmenšie nekonečné ordinálne aj kardinálne číslo.

Vlastnosti

${\mathrm{\aleph }}_0$ je

• limitný ordinál a limitný kardinál
• regulárny ordinál
• mohutnosťou množiny prirodzených, racionálnych aj algebraických čísiel
• najmenšou hodnotou funkcie alef

Značenie

V súčasnosti sú všetky tri značenia pre najmenší nekonečný ordinál (t. j. ${\mathrm{\aleph }}_0,{\omega }_0,\omega$) považované za v podstate rovnocenné. Z historických dôvodov však býva zvykom používať značenie

• ${\mathrm{\aleph }}_0$ ak hovoríme o tomto čísle ako o čísle kardinálnom,
• ${\omega }_0$ a $\omega$ ak o ňom hovoríme ako o čísle ordinálnom, pričom index 0 sa väčšinou používa vtedy, ak berieme do úvahy toto číslo v kontexte vyšších počiatočných ordinálnych čísiel.

Toto značenie má svoje historické opodstatnenie. V začiatkoch naivnej teórie množín boli ordinálne a kardinálne čísla chápané ako typy dobrých usporiadaní resp. mohutnosťou množín, teda ako odlišné objekty, ktoré spolu nemajú nič spoločného. Ordinálne číslo $\omega$ bolo chápané ako typ dobrého usporiadanie množiny prirodzených čísiel, t. j. ako typ usporiadania, ktoré je limitou typov usporiadaní konečných množín. Odtiaľ zrejme pochádza označenie $\omega$ posledným písmenom gréckej abecedy. Naopak kardinálne číslo ${\mathrm{\aleph }}_0$ je najmenším z rady typov nekonečných veľkostí. Odtiaľ pochádza označenie ${\mathrm{\aleph }}_0$ prvým písmenom hebrejskej abecedy (najvyššia mohutnosť, mohutnosť triedy všetkých kardinálnych čísiel označil Georg Cantor posledným písmenom hebrejskej abecedy ת (taf)).

Pozri aj

• Funkcia alef
• Epsilon 0
• Taf