Portál:Matematika/Odporúčaný článok/32 2011

Derivácia v smere, presnejšie derivácia diferencovateľnej funkcie viacerých reálnych premenných v smere daného vektora „V“ v danom bode „P“, je koncept, ktorý formalizuje intuitívnu predstavu "sklonu" rezu danej funkcie rovinou určenou (jednotkovým) vektorom „V“ a osou závislej premennej v bode „P“. Derivácia v smere teda určuje mieru rastu funkcie, ak všetky závislé premenné meníme v smere vektora „V“. Je teda zovšeobecnením konceptu parciálnej derivácie, pri ktorej je tento smer vždy rovnobežný s niektorou zo súradnicových osí – parciálna derivácia je teda špeciálnym prípadom derivácie v smere. Derivácia v smere je zas špeciálnym prípadom tzv. Gâteauxovej derivácie.

Definícia

Derivácia funkcie

$f(\overrightarrow{x})=f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

v smere vektora

$\overrightarrow{v}=(v_1,\dots ,v_n)$

je funkcia definovaná ako limita

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(\overrightarrow{x}+h\overrightarrow{v})-f(\overrightarrow{x})}{h}.$

Niekedy sa derivácia v smere označuje aj ako $D_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})$ alebo ${\mathrm{\nabla }}_{\overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})$. Ak je funkcia $f$ diferencovateľná v bode $\overrightarrow{x}$, tak existuje derivácia v smere ľubovoľného vektora $\overrightarrow{v},$ pričom platí

$\frac{\partial f}{\partial \overrightarrow{v}}(\overrightarrow{x})=\mathrm{\nabla }f(\overrightarrow{x})\cdot \overrightarrow{v}$,

kde $\mathrm{\nabla }$ označuje gradient a $\cdot$ je skalárny súčin.

Celý článok...