Portál:Matematika/Odporúčaný článok/31 2011

V matematike a fyzike, špeciálne tam, kde sa uplatňuje lineárna algebra, Einsteinova (sumačná) konvencia alebo Einsteinova notácia je spôsob zapisovania rovníc výhodný pri práci so zložkami tenzorov, v rámci nich špeciálne aj vektorov a kovektorov. Túto konvenciu zaviedol A. Einstein r. 1916.

Podľa tejto notácie, keď sa rovnaký index objaví v súčine dvakrát (raz ako horný a raz ako dolný), znamená to automatickú sumáciu cez všetky možné hodnoty tohoto indexu. V typických aplikáciách môže index nadobúdať hodnoty 1, 2, 3 v euklidovskom priestore alebo 0, 1, 2, 3 v Minkowského priestore. Počet hodnôt, ktoré index môže nadobúdať je rovný dimenzii priestoru, v ktorom pracujeme. V troch rozmeroch napríklad

$y=c_i{x}^i$

automaticky znamená

$y=\sum _{i=1}^3{c}_i{x}^i=c_1{x}^1+c_2{x}^2+c_3{x}^3.$

Dôvodom na používanie tejto konvencie je sprehľadnenie zložitých rovníc, kde treba sumovať cez viacero rôznych indexov.

Spúšťanie a dvíhanie indexov

Ak máme priestor s metrickým tenzorom $g_{ij}$, zavádza sa jeho inverzná matica vzťahom

$g^{ac}{g}_{cb}:={\delta }_b^a,$

kde ${\delta }_b^a$ je Kroneckerov symbol (rovný 1, ak $a=b$ a rovný 0, ak $a\ne b$). Potom možno zaviesť operáciu dvíhania a spúšťania indexov nasledovne:

${\mathrm{♯}}_g:{\alpha }_a\mapsto {\alpha }^a:=g^{ab}{\alpha }_b$

${\mathrm{♭}}_b:v^a\mapsto v_a:=g_{ab}{v}^b$

Veličinám $v_a,v^a$ sa niekedy zvykne hovoriť kovariantné a kontravariantné zložky (toho istého) vektora $v$. V striktnej terminológii sú však prvé z nich zložkami kovektorov.

Vzhľadom na to, že v euklidovskom priestore $g_{ab}={\delta }_{ab}$, čísla $v_a$ a $v^a$ sú rovnaké, pre každé $v$. Preto sa pri práci v ňom často ignoruje poloha indexov hore-dolu.

Celý článok...