Portál:Matematika/Odporúčaný článok/19 2011

Banachov priestor, pomenovaný podľa Stefana Banacha, je v matematike normovaný lineárny priestor, ktorý je navyše úplný. Banachove priestory sú jedným z centrálnych objektov záujmu funkcionálnej analýzy.

Definícia

Banachov priestor je úplný normovaný lineárny priestor. To znamená, že Banachov priestor je lineárny priestor $V$ nad telesom reálnych alebo komplexných čísel s normou $\Vert .\Vert$, v ktorom má každá cauchyovská postupnosť v indukovanej metrike $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ limitu.

Príklady

• Priestory ${ℝ}^n$ a ${ℂ}^n$ (všetky n-tice reálnych, resp. komplexných čísel) sú Banachove priestory v ľubovoľnej norme. Pokiaľ na priestoroch ${ℝ}^n$ a ${ℂ}^n$ definujeme euklidovskú normu

$\Vert x\Vert :=\sqrt{|x_1{|}^2+\cdots +|x_n{|}^2},$

kde $x=(x_1,\dots ,x_n)$, budú tieto priestory dokonca priestormi Hilbertovými.

• Priestor všetkých spojitých funkcií $f:[a,b]\to ℝ$ s normou

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\underset{t\in [a,b]}{\max }|f(t)|$

je Banachov.

Celý článok...