Portál:Matematika/Odporúčaný článok/18 2011

Banachova veta o pevnom bode, pomenovaná podľa Stefana Banacha a známa aj ako veta o kontrakcii je veta matematickej analýzy, ktorá hovorí, že pre každé kontraktívne zobrazenie v úplnom metrickom priestore existuje práve jeden pevný bod.

Definície

Pevný bod

Nech $f:X\to X$ je zobrazenie. Bod $x\in X$ nazveme pevným bodom zobrazenia f, ak $f(x)=x$.

Kontraktívne zobrazenie

Nech $(X,d)$ je metrický priestor, nech $A\subseteq X$. Nech $f:A\to A$ je zobrazenie. Zobrazenie f nazývame kontraktívne zobrazenie alebo kontrakcia, ak existuje reálna konštanta L, $0<L<1$ taká, že pre všetky $x_1,x_2\in A$ platí

$d(f(x_1),f(x_2))\le L\cdot d(x_1,x_2).$

Inými slovami, zobrazenie f je kontraktívne vtedy a len vtedy, keď spĺňa Lipschitzovu podmienku pre $0<L<1$.

Znenie vety

Nech $(X,d)$ je úplný metrický priestor. Nech $f:X\to X$ je kontraktívne zobrazenie. Potom f má práve jeden pevný bod $u=f(u)$. Navyše, pre každé $x\in X$ platí $f^n(x)\to u$ pre $n\to \mathrm{\infty }$ (symbol $f^n$ označuje n-tú iteráciu zobrazenia f), pričom pre rýchlosť konvergencie platí $d(u,f^n(x))\le L^n\cdot d(u,x)$.

Celý článok...