Youngova nerovnosť

Youngova nerovnosť je matematická nerovnosť, ktorá dáva do súvisu súčin dvoch nezáporných čísel a súčet ich mocnín.

Nech $a,b\ge 0$, $p,q\in (1,\mathrm{\infty })$, $pq=p+q$. Potom

$ab\le \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}$ .

Dôkaz

Pre $a=0$ alebo $b=0$ je dôkaz triviálny. Pre ostatné hodnoty z konkávnosti logaritmu dostávame

$\ln (\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q})\ge \frac{1}{p}\ln (a^p)+\frac{1}{q}\ln (b^q)=\ln (ab)$,

čo vďaka rastúcosti logaritmu implikuje dokazovanú nerovnosť.

Pozri aj

• Duálny exponent

Zdroj

• Šablóna:Preklad