Ludolfovo číslo

Na zápis Ludolfovho čísla sa používa minuskulum (malé písmeno) pí gréckej abecedy. Často sa týmto znakom aj pomenúva.

Ludolfovo číslo, hovorovo $\pi$ (pí) alebo výnimočne aj Archimedova konštanta (znak je grécke písmeno malé pí) je pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Či je kruh malý, alebo veľký, $\pi$ je stále rovnaké, je to matematická konštanta. Táto konštanta sa bežne používa nielen v matematike ale aj vo fyzike, inžinierstve a iných vedách. Ludolfovo číslo je iracionálne, transcendentné číslo, ktorého prvé tri cifry sú 3,14.

Dejiny čísla $\pi$

Archimedes zo Syrakúz bol jeden z prvých matematikov, ktorý sa zaujímal o číslo $\pi$

Podiel obvodu kruhu k jeho priemeru bol už od staroveku objektom záujmu vedcov. Babylončania okolo roku 2000 pred Kr. zistili, že obvod kruhu je približne trojnásobkom jeho priemeru. Matematický postup výpočtu čísla $\pi$ objavil okolo roku 255 pred Kr. Archimedes zo Syrakúz. Archimedes pomocou výpočtu obvodu pravidelného vpísaného a opísaného 96 uholníka odhadol hodnotu čísla $\pi$ medzi zlomkami $\frac{223}{71}$ a $\frac{220}{70}$ (3,1408 <$\pi$<3,1428). V nemecky hovoriacich krajinách bolo toto číslo nazývané Ludolfovo (Ludolphsche Zahl) podľa nemecko-holandského matematika Ludolph van Ceulen, ktorý ho v roku 1596 určil pomocou Archimedovho postupu na 20 miest a neskôr na 35 miest. Výpočtom sa zaoberal aj Samuel Mikovíny, ktorý pred rokom 1750 určil jeho hodnotu na 25 cifier. Návrh na označenie tohto čísla znakom $\pi$ pochádza z roku 1706 od málo známeho waleského matematika Williama Jonesa, ktorý sa v 18. storočí stal viceprezidentom Londýnskej kráľovskej spoločnosti. Označenie $\pi$ sa však ujalo až po tom, čo ho začal používať matematik a fyzik Leonhard Euler (prvýkrát v roku 1736 v diele Mechanika). V súčasnosti aj Nemci nazývajú Ludolfovo číslo ako $\pi$ .

Potom, čo Johann Lambert v roku 1768 dokázal, že $\pi$ nie je zlomok ale iracionálne číslo, vyriešil Ferdinand von Lindemann najvýznamnejší problém spojený s $\pi$, keď dokázal, že $\pi$ je transcendentné číslo (teda nie je koreňom žiadnej polynomickej rovnice).

Vyčíslenie hodnoty $\pi$

William Shanks v roku 1853 oznámil, že vypočítal $\pi$ s presnosťou na 607 miest (napokon sa ukázalo, že správnych bolo len 527). V súčasnosti sa snaha o upresnenie desatinného rozvoja čísla $\pi$ urýchlila vďaka výpočtovej technike. V roku 1949 určili hodnotu $\pi$ s presnosťou na 2 037 desatinných miest, čo pomocou počítača ENIAC trvalo 70 hodín. V roku 2011 bolo známych viac ako 10 000 000 000 000 miest čísla $\pi$.

Hodnota čísla

Nikdy nebudeme poznať presnú hodnotu čísla $\pi$, keďže je to iracionálne číslo. Desatinný rozvoj $\pi$ je nekonečný a bez predikovateľnej štruktúry. Jeho hodnota na 60 desatinných miest je:

$3,141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944...$

Výpočet $\pi$

Jeden zo spôsobov ako $\pi$ vypočítať, s ktorým prišiel nemecký polyhistor Gottfried Wilhelm von Leibniz:

$\pi =4\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}=+\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots$

Na približné účely sa často používa zaokrúhlená hodnota na dve desatinné miesta 3,14, čomu zodpovedá aj zlomok 22/7 (3,1428).

Mnemotechnické pomôcky

Pomerne jednoducho sa zapamätá 113/355 (po 2 krát za sebou nepárne čísla 1 3 5 rozdelené v strede lomkou), čo je $1/\pi$ s presnosťou na 7 miest odkiaľ opačný pomer 355/113 je $\pi$ s presnosťou na 6 miest.

Číslo $\pi$ s presnosťou na viac, napríklad deväť, desatinných miest je možné vytvoriť spočítaním písmen v jednotlivých slovách napríklad pomocou tejto vety: „Tak, ó milá, ó drahá, zapamätaj si týchto čísel rad.“

Ak priemer kruhu je 1, potom jeho obvod je pí.

Kruh a guľa

Kruh

$\text{Obvod}=\mathit{\pi }𝐝=2\mathit{\pi }𝐫$

$\text{Obsah}=\mathit{\pi }{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$

Guľa

$\text{Povrch}=\mathit{\pi }{𝐝}^{\mathrm{𝟐}}=4\mathit{\pi }{𝐫}^{\mathrm{𝟐}}$

$\text{Objem}=\frac{4}{3}\mathit{\pi }{𝐫}^{\mathrm{𝟑}}$

Zaujímavosti

Deň pí sa oslavuje od roku 1988 každý rok 14. marca. V tento ako aj v dni „približujúce sa k pí“ si ho možno pripomenúť odriekaním jeho cifier. V roku 2015 spamäti so zaviazanými očami povedal Ind Rajveer Meena jeho prvých 70 000 cifier, čo mu trvalo skoro 10 hodín.

Zdroj

• Crilly, T.: Matematika 50 myšlienok, ktoré by ste mali poznať, Bratislava: Slovart, 2011

Externé odkazy

• Ludolfovo číslo s presnosťou na 4,2 milióna desatinných čísiel na stiahnutieŠablóna:Nedostupný zdroj