Zobrazenie zdroja stránky Vlastné vektory a vlastné hodnoty

[[File:Mona Lisa eigenvector grid.png|thumb|320px|Pri tejto [[Lineárne zobrazenie|lineárnej transformácií]] červená šípka zmení smer, ale modrá šípka nie. Modrá šípka je teda vlastný vektor tejto lineárnej transformácie, pretože nemení smer, a keďže dĺžka tohto vektora zostáva nezmenená, jej vlastná hodnota je 1]]

'''Vlastné vektory''' a '''vlastné hodnoty''' (alebo '''vlastné čísla''') sú [[Matematika|matematické]] pojmy používané v [[Lineárna algebra|lineárnej algebre]], ktoré charakterizujú špecifické [[Vektor (matematika)|vektory]], ktoré pri pôsobení [[Lineárne zobrazenie|lineárnej transformácie]] nemenia svoj smer, no môžu zmeniť orientáciu alebo veľkosť. Matematicky to možno zapísať ako

: <math>T\mathbf v=\lambda \mathbf v</math> <ref name=":0">{{Cite web|title=Eigenvector and Eigenvalue|url=https://mathsisfun.com/algebra/eigenvalue.html|access-date=2020-08-19|website=www.mathsisfun.com}}</ref> 

kde <math>T</math> je nejaká lineárna transformácia, <math>\mathbf v</math> je vlastný vektor danej lineárnej transformácie a <math>\lambda</math> je jeho vlastná hodnota. Znamená to, že po aplikácii lineárnej transformácie je výsledkom operácie ten istý vektor (vlastný vektor) vynásobený nejakým číslom (vlastná hodnota alebo vlastné číslo).

== Definícia ==
Nech <math>A</math> je štvorcová [[Matica (matematika)|matica]] veľkosti <math>n \times n</math> nad [[Pole (algebra)|poľom]] <math>\Reals</math> (alebo <math>\Complex</math>). Nenulový vektor <math>v \in \reals^n</math>(alebo <math>v \isin \Complex^n</math>) sa nazýva vlastný vektor matice <math>A</math>, ak existuje skalár <math>\lambda \in \reals</math> (alebo <math>\lambda \in \Complex</math>) pre ktorý platí:

: <math display="inline">Av = \lambda v</math><ref>{{cite book | url = https://math.mit.edu/~gs/linearalgebra/ila5/linearalgebra5_6-1.pdf | title = Introduction to Linear Algebra | author = Gilbert Strang | edition = 5 | chapter = 6: Eigenvalues and Eigenvectors | publisher = Wellesley-Cambridge Press}}</ref>

Číslo <math>\lambda</math> sa nazýva vlastné číslo matice <math>A</math>, ktoré prislúcha k vlastnému vektoru <math>v</math>. Vlastné čísla matice <math>A</math> sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá sa získava pomocou [[Determinant (matematika)|determinantu]]:

: <math>\det(A- \lambda I) = 0</math>

kde <math>I</math> je jednotková matica veľkosti <math>n \times n </math>. Po určení vlastných čísel sa k nim hľadajú vlastné vektory riešením [[Homogénna sústava lineárnych rovníc|homogénnej sústavy lineárnych rovníc]]:

: <math>(A - \lambda I) v = 0</math>

== Výpočet ==
Nech <math>A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}</math>. 

Najskôr treba určiť vlastné čísla matice. Vlastné čísla sú riešenia charakteristickej rovnice, ktorá je získaná z rovnice <math display="inline">\det(A- \lambda I) = 0</math>, t. j.:

: <math>det(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} ) = 0</math>

: <math>det(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix}) = 0
</math>

: <math>\begin{vmatrix} (1 - \lambda) & 2 \\ 4 & (-1-\lambda) \end{vmatrix}  = 0</math>

: <math>(1- \lambda)(-1 - \lambda) - 8 = 0</math>
: <math>\lambda^2 -9 = 0
</math>

Charakteristický [[polynóm]] matice <math>A</math> teda bude <math>\lambda^2 - 9</math>, a riešením charakteristickej rovnice sú vlastné čísla <math>\lambda_1 = 3 ; \lambda_2 = -3</math>.

Následne možno vypočítať vlastný vektor. Pre vlastné číslo <math>\lambda_1 = 3</math> potom platí:

: <math>\biggl(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} - 3 \times \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\biggr) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0</math>

: <math>\biggl(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & -1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\biggr) \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0</math>

: <math>\begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = 0</math>

Z tejto sústavy získame dve rovnice:

: <math>\begin{cases} -2x+2y=0 \\ 4x-4y=0 \end{cases}</math>

Tieto rovnice sú [[Lineárna závislosť (vektory)|lineárne závislé]], takže postačuje riešiť jednu z nich:

: <math>-2x+2y=0 \implies y=x</math>

Vlastné vektory teda majú tvar

: <math>\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = x \times \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}; x \in \Reals \backslash \lbrace 0 \rbrace</math>


Vlastný vektor pre  <math>\lambda_1 = 3</math> môže teda byť napríkad vektor <math>\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}^T</math>. Obdobné riešenie potom možno použiť i pre druhú vlastnú hodnotu.

== Referencie ==
{{Portál|Matematika}}
{{Referencie}}

{{Matematický výhonok}}

{{Lineárna algebra}}

{{Autoritné údaje}}

[[Kategória:Lineárna algebra]]