Zobrazenie zdroja stránky Trojčlenka

'''Trojčlenka''' je jednoduchá matematická metóda na výpočet priamej alebo nepriamej postupnosti veličiny <math>b</math> v závislosti od veličiny <math>a</math> podľa vzorca <math>b=c.a</math>, pričom <math>c</math> je [[konštanta]]. Jednoducho povedané, veličiny <math>a</math> a <math>b</math> sú v priamej úmere. Ich podiel <math>\frac{b}{a}</math> sa rovná konštante <math>c</math>. Ak sa veličina <math>a</math> zdvojnásobí, prípadne strojnásobí, následkom toho sa zdvojnásobí, prípadne strojnásobí aj veličina <math>b</math>.

== Úlohy ==
Riešenie klasickej úlohy s úmernými veličinami vyžaduje tri kroky. Výpočty môžeme robiť postupne alebo opísať obecne a vypočítať až na záver dosadením do vzorca.

=== Metóda postupného výpočtu ===
Dve mačky zjedia denne tri mäsové konzervy. Koľko mäsových konzerv zjedia denne štyri mačky?
Krok 1 údaje: 2 mačky zjedia 3 konzervy.
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 mačka zje <math>\frac{3}{2}</math> konzervy.
Krok 3 hľadaný výsledok: 4 mačky zjedia <math>\frac{3.4}{2}</math> konzerv.

Odpoveď: 4 mačky zjedia denne 6 mäsových konzerv.

Trojčlenka v priamej úmernosti je založená na tom, že v druhom kroku vypočítame výsledok pre jednotku. Prechádzame od 2 mačiek k jednej a potom ku 4 mačkám.

== Trojčlenka v nepriamej úmernosti ==
Trojčlenka v [[Nepriama úmernosť|nepriamej úmernosti]] sa zakladá na tom, že veličina <math>b</math> závisí od veličiny <math>a</math>, <math>a\neq 0</math> podľa vzorca, kde <math>b=\frac{c}{a}</math> je určitá konštanta (tj. nemenná hodnota).

Tým je povedané, že veličiny <math>a</math> a <math>b</math> sú nepriamo úmerné. Ich súčin <math>a.b</math> je konštantný. Ak sa veličina <math>a</math> zdvojnásobí, prípadne strojnásobí následkom toho sa dvakrát, prípadne trikrát zmenší veličina <math>b</math>.

=== Príklad na nepriamu úmernosť. ===
3 kombajny zožnú určité pole za 2 hodiny. Koľko času potrebuje na zožatie tohoto poľa 6 kombajnov?
Krok 1 údaje: 3 kombajny potrebujú 2 h (hodiny).
Krok 2 výsledok pre jednotku: 1 kombajn potrebuje <math>3.2</math> h.
Krok 3 hľadaný výsledok: 6 kombajnov potrebuje <math>\frac{3.2}{6}</math>.
Odpoveď: 6 kombajnov potrebuje na zožatie daného poľa 1 hodinu.

Taktiež aj tu je výpočet založený na fakte, že v druhom kroku vypočítame pre jednotku. Prechádzame od 3 kombajnov cez 1 kombajn ku 6 kombajnom.

== Zložená trojčlenka ==
Zložená trojčlenka je založená na dvojitom použití trojčlenky jednoduchej. Doposiaľ sme sa zaoberali s dvoma premennými veličinami <math>(a_1,b_1)</math> a <math>(a_2,b_2)</math>. V zložitej úmere máme dve trojice s tromi premennými veličinami <math>(a_1,b_1,c_1)</math> a <math>(a_2, b_2,c_2)</math>. Hľadanou hodnotou je vždy <math>c_2</math>.

Postup výpočtu bol doposiaľ nasledujúci:
:1. <math>(a_1,b_1)</math> vzťah medzi hodnotami oboch veličín
:2.  <math>(1, \approx )</math> výsledok pre jednotku
:3.  <math>(a_2, \approx )</math> dopočítanie údajov v druhej dvojici

Postup výpočtu spočíva teraz vo dvojitom výpočte výsledku pre jednotku a dvojitom dopočítaní druhej dvojice. To predstavuje 5 postupných výpočtových krokov:

:1. <math>(a_1,b_1,c_1)</math> vzťah medzi hodnotami troch veličín
:2. <math>(1,b_1, \approx )</math> výsledok pre jednotku odpovedajúcej <math>a_1</math>
:3. <math>(1,1, \approx )</math> výsledok pre jednotku odpovedajúcej <math>b_1</math>
:4. <math>(1,b_2, \approx )</math> dopočítanie druhej dvojice z <math>b_2</math>
:5. <math>(a_2,b_2, \approx )</math> dopočítanie druhej dvojice

V zložitej trojčlenke rozlišujeme štyri prípady. V každom z nich počítame <math>c_1</math>, prípadne <math>c_2</math>, čo je vo výšie uvedenom uvedenom schémeta naznačené symbolom <math>\approx )</math>. Rozdiel spočíva v tom, že páry <math>(a_1,b_1)</math> a <math>(a_2,b_2)</math>, <math>(a_1,c_1)</math> a <math>(a_2,x)</math>, <math>(b_1,c_1)</math> a <math>(b_2,x)</math> sú priamo čí nepriamo úmerné.

=== Príklad 1) ===
5 osôb zje behom 3 raňajok 30 žemlí. Koľko žemlí zje 8 osôb behom 2 raňajok?
:Krok 1: 5 osôb, 3 raňajky, 30 žemlí
:Krok 2: 1 osoba, 3 raňajky, <math>\frac{30}{5}</math> žemle
:Krok 3: 1 osoba, 1 raňajky, <math>\frac{30}{5.3}</math> žemle
:Krok 4: 1 osoba, 2 raňajky, <math>\frac{30.2}{5.3}</math> žemle
:Krok 5: 8 osôb, 2 raňajky, <math>\frac{30.2.8}{5.3}=32</math> žemlí

Odpoveď: 8 osôb zje behom dvoch raňajok 32 žemlí.

=== Príklad 2) ===
5 strojov potrebuje na vyčistenie 10 000 kníh 20 hodín. Koľko hodín potrebujú dva stroje na vyčistenie 8000 kníh?
:Krok 1: 10 000 kníh, 5 strojov, 20 hodín
:Krok 2: 1 kniha, 5 strojov, <math>\frac{20}{10000}</math> hodín
:Krok 3: 1 kniha, 1 stroj, <math>\frac{20.5}{10000}</math> hodín
:Krok 4: 1 kniha, 2 stroje, <math>\frac{20.5}{10000.2}</math> hodín
:Krok 5: 8000 kníh, 2 stroje, <math>\frac{20.5.8000}{10000.2}=40</math> hodín

Odpoveď: Dva stroje potrebujú na vyčistenie 8000 kníh 40 hodín.

=== Príklad 3) ===
3 osoby pozbierajú jahody z 48 riadkov za 8 hodín. Koľko hodín potrebuje 5 osôb na pozbieranie jahôd z 20 riadkov?
:Krok 1: 3 osoby, 48 riadkov, <math>8</math> hodín
:Krok 2: 1 osoba, 48 riadkov, <math>8.3</math> hodín   
:Krok 3: 1 osoba, 1 riadok, <math>\frac{8.3}{48}</math> hodiny
:Krok 4: 1 osoba, 20 riadkov, <math>\frac{8.3.20}{48}</math> hodiny
:Krok 5: 5 osôb, 20 riadkov, <math>\frac{8.3.20}{48.5}=2</math> hodiny

Odpoveď: 5 osôb potrebuje na pozbieranie jahôd z 20 riadkov 2 hodiny.

=== Príklad 4) ===
3 robotníci postavili určený plot za 3 osemhodinové pracovné dni. Koľko dní potrebuje 9 robotníkov pracujúcich denne 2 hodiny, aby postavili uvedený plot?

:Krok 1: 3 robotníci, 8 h, <math>3</math> dni
:Krok 2: 1 robotník, 8 h, <math>3.3</math> dni
:Krok 3: 1 robotník, 1 h, <math>3.3.8</math> dni   
:Krok 4: 1 robotník, 2 h, <math>\frac{3.3.8}{2}</math> dni
:Krok 5: 9 robotníkov, 2 h, <math>\frac{3.3.8}{2.9}=4</math> dni

Odpoveď: 9 robotníkov pracujúcich 2 hodiny potrebuje 4 dni na to, aby postavili určený plot.

Stanovené hľadanie hodnoty sa robí po krokoch. Rozhoduje vždy to, azda dané veličiny sú priamo alebo nepriamo úmerné.
V príklade 1) sú všetky veličiny priamo úmerné, preto najprv delíme hodnotou a_1, potom b_1 a až potom násobíme hodnotou b_2 a a_2. Podobne je potrebné rozhodnúť v príkladoch 2) a 4), ktorá z veličín sú priamo úmerné, a ktoré nepriamo úmerné a podľa toho najprv deliť, prípadne násobiť a potom naopak násobiť prípadne deliť.

== Literatúra ==
* K. M. DELVENTHAL, A. KISSNER, M. KULICK: ''Kompendium matematiky'' Banská Bystrica, Compact Verlag. 2003, s. 85-90

== Pozri aj ==
* [[Kvadratický odhad]]
* [[Násobenie]]

[[Kategória:Aritmetika]]