Zobrazenie zdroja stránky Taylorov rad

[[Súbor:Taylor.gif|thumb|Modrá krivka označuje Taylorov polynóm. V animácii sa stupeň polynómu postupne zväčšuje, čim sa aproximácia v okolí nuly spresňuje.]]

'''Taylorov rad''' funkcie <math> f </math> premennej <math> x </math> v bode <math> a </math> je [[potenčný rad]] (mocninový rad) so stredom <math> a </math> v tvare
:<math>\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}</math>
pričom
* <math> f^{(n)}(a)</math> je <math>n</math>-tá derivácia funkcie <math> f </math> v bode <math> a </math>, 
* <math> f </math> má v okolí bodu <math> a </math> derivácie všetkých rádov.

Funkcia sa nazýva analytická (v bode <math>a</math>) ak jej Taylorov rad sa v niektorom okolí bodu <math>a</math> zhoduje s danou funkciou. Toto neplatí univerzálne, čiže jestvujú funkcie, ktorých Taylorove rady sa s nimi nezhodujú. Príkladom takej funkcie je 
:<math> 0\not=x\mapsto e^{-\frac{1}{|x|}},\ 0\mapsto 0 </math>. 
Jej Taylorov rad so stredom v bode 0 je nulový rad, pričom daná funkcia má hodnotu nula jedine keď jej argument je nula. 

'''Taylorov rozvoj''' (funkcie <math>f</math> premennej <math>x</math> v bode <math>a</math>) je Taylorov rad, pre ktorý platí, že jeho súčet (teda výsledná hodnota) v okolí bodu <math>a</math> sa rovná <math>f(x)</math>. '''Maclaurinov rad''' je Taylorov rad so stredom v bode <math>a=0</math>.
== Účel ==
Mnohoznačne zložité [[Zobrazenie (matematika)|funkcie]] je ťažké si predstaviť, zobraziť ich, prípadne odhadnúť ich funkčné hodnoty. Tiež elementárne funkcie, napríklad [[sínus]], [[kosínus]], nadobúdajú najmä [[Iracionálne číslo|iracionálne]] hodnoty, ktoré nie je možné presne vyčísliť, niekedy ani odhadnúť. Práve ''Taylorov rad'' umožňuje tieto základné goniometrické funkcie, a mnohé iné, formálne definovať. Napríklad pre funkciu sínus platí nasledujúci odhad v okolí nuly<br />
::<math>\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}</math>.<br />
Je to veľmi silná aproximácia. Hodnoty funkcie sínus v okolí nuly sa dajú vypočítať s veľmi malou chybou. Na prelome 17. a 18. storočia sa viacerí matematici pokúšali nahradiť funkciu nejakou jednoduchšou. Za najjednoduchšie sa všeobecne považujú polynomické funkcie, respektíve [[Polynóm|polynómy]]. Vybudovanie teórie, ktorá umožňovala aproximáciu funkcií práve polynómami, však vyžadovala poznatky z vyššej matematiky, hlavne [[Infinitezimálny počet|diferenciálneho počtu]]. Teóriu nezávisle od seba budovali [[Brook Taylor]] a [[Colin Maclaurin]]. Táto teória umožňuje zapísať, za určitých predpokladov, funkciu ako súčet nekonečného mocninového radu, ktorý sa nazýva ''Taylorov rad''.<br />

== Intuitívne odvodenie ==
Hlavná myšlienka konštrukcie Taylorovho radu spočíva v rovnosti derivácií dvoch funkcií. Obmedzme sa na polynóm stupňa <math>n</math>. Zovšeobecnenie pre polynóm nekonečného stupňa – Taylorov rad bude presnejšie opísané v samotnej definícii. Majme dve funkcie definované v okolí nejakého bodu ich [[Definičný obor|definičného oboru]]. Ak sa ich funkčné hodnoty rovnajú a ich [[Derivácia|derivácie]] všetkých rádov sú v tomto bode rovnaké, potom možno považovať funkcie za rovnaké. Na zjednodušenie uvažujme bod <math>x=0</math>. Vezmime funkciu <math>f</math> a všeobecný polynóm<br />

::<math>p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_nx^n</math><br />

Treba však nájsť koeficienty <math>\{a_k\}_{k=1}^{n}</math>, aby nastala rovnosť <math>f(x)=p(x)</math>, pre <math>x\in\mathcal{O}(0)</math>. Jednoducho možno odvodiť, že <math>a_0=f(0)</math>. Ďalší koeficient možno osamostatniť [[Derivácia|derivovaním]] a dosadením nuly. Koeficient <math>a_1</math> teda vypočítame prvou deriváciou <br />

::<math>f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}</math><br />

Po dosadení jednoducho <math>a_1=f'(0)</math>. Všeobecne pre <math>k</math>-ty člen polynómu platí <br />

::<math>a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!}</math>

Týmto spôsobom jednoducho nájdeme tvar hľadaného polynómu. V tomto odvodení, ktoré je veľmi hrubé, nie sú zahrnuté všetky predpoklady na existenciu takého polynómu. Nie pre každú funkciu jestvuje Taylorov polynóm, respektíve Taylorov rad. Všetky predpoklady sú zhrnuté spolu so všeobecnou formálnou definíciou v nasledujúcom odseku.
== Definícia ==
Nech <math>f</math> je <math>(n+1)</math>-krát diferencovateľná funkcia v bode <math>a</math>, definovaná na okolí <math>\mathcal{O}(a)</math> bodu <math>a</math>. Potom platí <br />

::<math>f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_{n+1}(x)</math><br />

kde výraz <math>R_{n+1}(x)</math> označuje [[zvyšok]]. Tento vzorec sa nazýva '''Taylorov vzorec''' a jeho prvá časť (teda časť bezo zvyšku) sa nazýva '''('''<math>n</math>'''-tý) Taylorov polynóm''' alebo '''Taylorov aproximačný polynóm''' funkcie <math>f</math> so stredom v bode <math>a</math>. 

Aby bol polynóm <math>p(x)</math> konečného stupňa <math>n</math> Taylorovým polynómom, musí platiť:
::<math>\lim_{x\to a}\frac{f(x)-p(x)}{(x-a)^n}=0</math><br />

[[Implikácia]] platí aj opačne, teda ak je uvedená limita nulová, potom <math>p(x)</math> je Taylorovým polynómom funkcie <math>f</math> stupňa <math>n</math>.

Ak sa <math>n</math> blíži k nekonečnu, nazýva sa Taylorov aproximačný polynóm '''Taylorov rad'''.

== Tvary zvyšku ==
=== Cauchyho tvar zvyšku ===
Cauchyho tvar vychádza z [[Lagrangeova veta o strednej hodnote|Lagrangeovej vety o strednej hodnote]] diferenciálneho počtu. Oveľa praktickejšie je však jeho zovšeobecnenie – Lagrangeov tvar, ktorý je ľahšie zapamätateľný. Nech číslo <math>\zeta</math> je medzi <math>x</math> a stredom <math>a</math>. Teda v prípade <math>x<a</math> je <math>\zeta\in(x,a)</math>, v opačnom prípade <math>x>a</math> je <math>\zeta\in(a,x)</math>. Potom je zvyšok možné zapísať v tvare<br />

::<math>R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{n!}(x-\zeta)^n(x-a)</math>

=== Lagrangeov tvar zvyšku ===
Lagrangeov tvar je zovšeobecnením Cauchyho tvaru a využíva [[Cauchyho veta o strednej hodnote|Cauchyho vetu o strednej hodnote]] diferenciálneho počtu. Tento tvar je jednoduchší než Cauchyho, pretože sa podobá na nasledujúci <math>(n+1)</math>-vý člen rozvoja.<br />

::<math>R_{n+1}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}</math>

=== Integrálny tvar zvyšku ===

::<math>R_{n+1}(x)=\int\limits_{a}^{x}\frac{f^{(n+1)}(z)}{n!}(x-z)^{n}\,\mathrm{d}z</math>
== Taylorove rady elementárnych funkcií ==
V tabuľke sú odvodené Taylorove rady niektorých elementárnych funkcií. Na základe ich znalosti je možné odvodiť rozvoje iných, zložitejších funkcií.<br />
::{| class="wikitable" border="1" style="text-align:center"
|-
! Funkcia
! Taylorov rad
! Konvergencia
|-
| align="left"|[[Exponenciálna funkcia]]
| align="left"|<math>\mathrm{e}^{x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{x^n}{n!}</math>
| <math>x\in\mathbb{R}</math>
|-
| align="left"|[[Goniometrická funkcia|Goniometrická funkcia sínus]]
| align="left"|<math>\sin x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>
| <math>x\in\mathbb{R}</math>
|-
| align="left"|[[Goniometrická funkcia|Goniometrická funkcia cosínus]]
| align="left"|<math>\cos x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}</math>
| <math>x\in\mathbb{R}</math>
|-
| align="left"|[[Cyklometrická funkcia|Cyklometrická funkcia arkussínus]]
| align="left"|<math>\arcsin x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(2n)!x^{2n+1}}{4^n(n!)^2(2n+1)}</math>
| <math>x\in\langle-1;1\rangle</math>
|-
| align="left"|[[Cyklometrická funkcia|Cyklometrická funkcia arkustangens]]
| align="left"|<math>\arctan x=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}</math>
| <math>x\in\mathbb{R}</math>
|-
| align="left"|[[Nekonečný geometrický rad]]
| align="left"|<math>\frac{1}{1-x}=\sum^{\infty}_{n=0}x^n</math>
| <math>|x|<1</math>
|-
| align="left"|[[Logaritmus|Prirodzený logaritmus]]
| align="left"|<math>\ln(1-x)=-\sum^{\infty}_{n=1}\frac{x^n}{n}</math><br /><math>\ln(1+x)=\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^{n+1}x^n}{n}</math>
| <math>|x|\leq1,x\ne+1</math><br /><br /><math>|x|\leq1,x\ne-1</math>
|-
| align="left"|[[Binomická veta|Zovšeobecnený binomický dvojčlen]]
| align="left"|<math>(1+x)^\alpha = \sum_{n=0}^\infty {\alpha \choose n} x^n</math>
| <math>|x|<1</math>
|}

== Príklad ==
Nájdime Taylorov rad funkcie <math>f(x)=\arctan3x-x\ln(1+x^2)</math> so stredom v bode <math>a=0</math>. Najprv uvážime Taylorove rady funkcií [[Cyklometrická funkcia|arkustangens]] a prirodzený [[logaritmus]]. Pre arkustangens platí<br />
:<math>\left.\arctan u\right|_{u=3x}=\left.\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^nu^{2n+1}}{2n+1}\right|_{u=3x}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n(3x)^{2n+1}}{2n+1}=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n3^{2n+1}}{2n+1}x^{2n+1}</math><br />
Podobne odvodíme vzťah pre logaritmus<br />
:<math>\left.x\ln(1-u)\right|_{u=-x^2}=-\left.x\sum^{\infty}_{n=1}\frac{u^n}{n}\right|_{u=-x^2}=-\sum^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n}x^{2n+1}</math><br />
Súčtom týchto radov a úpravou do vhodného tvaru dostaneme Taylorov rad funkcie <math>f</math><br />
:<math>\begin{array}{ll}f(x)&=\sum\limits^{\infty}_{n=0}\frac{(-1)^n3^{2n+1}}{2n+1}x^{2n+1}+\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n}x^{2n+1}=\\&=
3x+\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n3^{2n+1}}{2n+1}x^{2n+1}+\sum\limits^{\infty}_{n=1}\frac{(-1)^n}{n}x^{2n+1}=\\&=
3x+\sum\limits^{\infty}_{n=1}(-1)^n\left(\frac{3^{2n+1}}{2n+1}+\frac{1}{n}\right)x^{2n+1}
\end{array}</math>

== Použitie ==
V praxi je využiteľný práve Taylorov polynóm, čo je špeciálny prípad Taylorovho radu, pričom sa vypočíta niekoľko prvých členov. Chyba, ktorej sa pri určovaní funkčnej hodnoty dopustíme, sa dá odhadnúť pomocou zvyškov. V teórii a pri teoretických [[Dôkaz|dôkazoch]] je dôležité používať rozvoje funkcií cez definíciu Taylorovho radu ako nekonečného súčtu. Ak používame pri výpočte radu len niekoľko <math>k</math> prvých členov, ostatné je zvykom zapísať v tvare <math>o(x^k)</math>. Tento zápis znamená napríklad pre <math>p(x)=x+x^2+x^3+o(x^3)</math>, že ide o členy stupňa vyššieho, ako <math>3</math>. Zároveň platí, že
::<math>\lim_{x\to0}\frac{o(x^n)}{x^n}=0</math>

=== Súčty radov ===
Nájdime súčet [[Nekonečný číselný rad|nekonečného číselného radu]]<br />
:<math>\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n\pi^{2n}}{4^{n}(2n+1)!}</math><br />
Na výpočet použijeme rozvoj funkcie [[Goniometrická funkcia|sínus]], pričom zvolíme <math>\frac{\pi^{2n}}{4^n}=\left(\frac{\pi}{2}\right)^{2n}=x^{2n}</math><br />
:<math>\left.\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\left.\frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\left.\frac{1}{x}\sin x\right|_{x=\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}</math><br />
=== Výpočet niektorých limít ===
Niektoré [[Limita|limity]] nie je možné vypočítať bežnými prostriedkami, prípadne je to príliš zdĺhavé. Napríklad použitie [[L’Hospitalovo pravidlo|L’Hospitalovho pravidla]] nezaručuje vždy jednoduchý postup. Dá sa ním však jednoducho vypočítať mnoho známych limít<br />
:<math>\lim_{x\to0}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{1+x+o(x)-1}{x}=\lim_{x\to0}\left(1+\frac{o(x)}{x}\right)=1</math><br />
:<math>\lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{x-x+\dfrac{x^3}{3!}+o(x^3)}{x^3}=\frac{1}{6}</math>

=== Maticová exponenciála ===
Pomocou Taylorovho radu sa dá definovať aj abstraktný pojem z algebry – maticová exponenciála. Táto exponenciála sa využíva napríklad pri riešení systémov diferenciálnych rovníc. Uvažujme systém obyčajných [[Diferenciálna rovnica|diferenciálnych rovníc]], ktorý môžeme napísať v tvare<br />
::<math>\mathbf{A}\mathbf{x}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}</math><br />
Podobne ako [[obyčajná diferenciálna rovnica]] prvého rádu, má aj táto maticová diferenciálna rovnica riešenie v tvare<br />
::<math>\mathbf{x}=\mathrm{e}^{\mathbf{A}t}\mathbf{x}_0</math>
kde <math>\mathbf{x}_0</math> je vektor s počiatočnými podmienkami pre partikulárne riešenie. Definovať maticovú exponenciálu umožňuje teoretický poznatok o [[Diagonalizácia matice|diagonalizácii]] matice a Taylorovom rade. Exponenciálnu funkciu <math>\mathrm{e}^{\mathbf{A}t}</math>, bez ohľadu na to, aký objekt predstavuje <math>\mathrm{A}t</math> (v tomto prípade matica) môžeme zapísať <br />
::<math>\mathrm{e}^{\mathbf{A}t}=\mathbf{I}+\mathbf{A}t+\frac{1}{2!}\mathbf{A}^2t^2+\frac{1}{3!}\mathbf{A}^3t^3+\cdots</math><br />
Z diagonalizácie matice platí<br />
::<math>\begin{array}{ll}\mathrm{e}^{\mathbf{A}t}&=\mathbf{V}\mathbf{V}^{-1}+\mathbf{V}\Lambda\mathbf{V}^{-1}t+\dfrac{1}{2!}\mathbf{V}\Lambda^2\mathbf{V}^{-1}t^2+\dfrac{1}{3!}\mathbf{V}\Lambda^3\mathbf{V}^{-1}t^3+\cdots=\\&=
\mathbf{V}\left(\mathbf{I}+\Lambda t+\dfrac{1}{2!}\Lambda^2t^2+\dfrac{1}{3!}\Lambda^3t^3+\cdots\right)\mathbf{V}^{-1}=\\&=
\mathbf{V}\mathrm{e}^{\Lambda t}\mathbf{V}^{-1}
\end{array}</math><br />
Matica <math>\mathbf{V}</math> je matica [[Vlastný vektor|vlastných vektorov]] a matica <math>\Lambda</math> je matica [[Vlastné číslo|vlastných čísel]] matice <math>\mathbf{A}</math>. Podmienka diagonalizovateľnosti matice je však nutná. V prípade, že matica nie je diagonalizovateľná, je možné použiť na riešenie Jordanov tvar matice a rozklad <math>\mathbf{A}=\mathbf{MJM}^{-1}</math>. Pre všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej sústavy platí<br />
::<math>\mathbf{x}=\mathbf{V}\mathrm{e}^{\Lambda t}\mathbf{V}^{-1}\mathbf{x}_0</math><br />
::<math>\mathrm{e}^{\Lambda t}=\begin{bmatrix}\mathrm{e}^{\lambda_1t}&0&0&\cdots&0\\0&\mathrm{e}^{\lambda_2t}&0&\cdots&0\\0&0&\mathrm{e}^{\lambda_3t}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&\mathrm{e}^{\lambda_nt}\end{bmatrix}</math>

== Referencie ==
<references />

== Pozri aj ==
* [[Nekonečný číselný rad]]
* [[Funkcionálny rad]]
* [[Infinitezimálny počet]]
* [[Derivácia]]
* [[Lagrangeova veta o strednej hodnote]]
* [[Cauchyho veta o strednej hodnote]]
* [[Fourierov rad]]

[[Kategória:Matematika]]
[[Kategória:Matematická analýza]]
[[Kategória:Eponymické termíny v matematike]]