Zobrazenie zdroja stránky Suprémum

::''Suprémum znamená aj všeobecne jav či prvok najbližší z ďalších nasledujúcich.''

'''Suprémum''' [[množina|množiny]] [[reálne číslo|reálnych čísel]] <math>A</math> je číslo <math>K</math> také, ktoré je najmenším [[horné ohraničenie|horným ohraničením]]. Horné ohraničenie je číslo väčšie alebo rovné ľubovoľnému prvku množiny <math>A</math>. Supremum označujeme <math>K = \sup A</math>. 

Najväčšie dolné ohraničenie nazývame [[infimum]].

== Definičné vlastnosti superéma ==

# Keďže <math>K</math> je horným ohraničením množiny <math>A</math>, musí platiť <math>a<K</math> pre všetky <math>a</math> z množiny <math>A</math>.
# <math>K</math> má byť najmenším horným ohraničením. Ak ho zmenšíme o ľubovoľnú kladnú hodnotu <math>\varepsilon</math>, dostaneme <math>K - \varepsilon</math>, čo už nesmie byť horným ohraničením.

=== Príklad ===
Majme množinu <math>A = \left \{\frac 0 1 , \frac 1 2 , \frac 2 3 , \frac 3 4, \frac 4 5 , \dots \right \} = \left\{ \frac {n-1} n, n \in \mathbb N \right \}</math>. Ukážeme, že <math>1</math> je jej suprémom.

# Musí platiť, že <math>\frac {n-1} n = 1 - \frac 1 n < 1</math>, čo je pravda pre každé prirodzené číslo <math>n</math>.
# Musí platiť, že pre každé <math>\varepsilon > 0</math> nebude hodnota <math>1-\varepsilon</math> horným ohraničením množiny <math>A</math>. Teda má existovať také <math>a \in A</math>, pre ktoré bude väčšie ako <math>1-\varepsilon</math>. Hodnoty <math>a</math> môžeme zapísať ako <math>\frac {n-1} n</math>, takže ekvivalentne možno povedať: Má existovať také <math>n \in \mathbb N</math>, že <math>\frac {n-1} n > 1-\varepsilon</math>. Postupnými úpravami dospejeme k nerovnosti <math>n > \frac 1 \varepsilon</math>, čo má určite celočíselné riešenie.

[[Kategória:Algebra]]