Zobrazenie zdroja stránky Sínus

[[Súbor:Sin.svg|thumb|300px|Graf funkcie sínus]]
{{Iné významy}}
'''Sínus''' patrí medzi [[goniometrická funkcia|goniometrické funkcie]]. V [[pravouhlý trojuholník|pravouhlom trojuholníku]] je definovaný ako pomer dĺžky protiľahlej [[odvesna|odvesny]] k uhlu a dĺžky [[prepona|prepony]] trojuholníka. Graf funkcie ''sínus'' sa nazýva ''[[sínusoida]]'' alebo ''sínusovka''.

== Pôvod slova ==
Latinské slovo „Sinus“ znamená „ohyb, zakrivenie, alebo prsia“. V tomto význame bolo slovo prevzaté od arabských matematikov, ktorí si slovo „jiba“ (جيب) „vrecko, záhyb látky“ požičali od indických matematikov ([[Sanskrit]] „jiva“ ‘tetiva‘ - odvodené od zakriveného priebehu vlákna, ktoré je navinuté na palici vo forme závitu.).

== Vlastnosti ==
Funkcia <math>y=\sin x\,\!</math> má nasledujúce vlastnosti (kde ''k'' je ľubovoľné [[celé číslo]]):
* [[Definičný obor]]: <math>\mathbb{R}</math> ([[reálne číslo|reálne čísla]])
* [[Obor hodnôt]]: <math>\langle-1;1\rangle</math>
* Funkcia je [[Rastúca funkcia|rastúca]]: v každom intervale <math>\langle-\frac{\pi}{2}+2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\rangle</math>
* Funkcia je [[klesajúca funkcia|klesajúca]]: v každom intervale <math>\langle\frac{\pi}{2}+2k\pi; -\frac{\pi}{2}+2(k+1)\pi\rangle</math>
* Funkcia nadobúda [[maximum]] rovné 1 v bode: <math>\frac{\pi}{2}+2k\pi</math>
* Funkcia nadobúda [[minimum]] rovné -1 v bode: <math>-\frac{\pi}{2}+2k\pi</math>
* [[derivácia (funkcia)|Derivácia]] funkcie: <math>y'=\cos x\,\!</math>
* [[Integrál]]: <math>\int \sin x\, \mathrm{d}x = -\cos x + c</math>
* [[Taylorov rad]]: <math>\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}</math>, rovnosť platí pre všetky reálne čísla
* [[Inverzná funkcia]]: [[arkus sínus]] (''arcsin''), je to inverzná funkcia k funkcii sínus ''zúženej'' na interval <math> [-\pi/2,+\pi/2] </math>
* Sínus je funkcia:
** [[nepárna funkcia|nepárna]]
** [[Ohraničená funkcia|ohraničená zhora i zdola]]
** [[periodická funkcia|periodická]] s&nbsp;periódou <math>2\pi</math>

== Sínus v komplexnom obore ==
[[Zobrazenie (matematika)|Funkcia]] sínus je v [[komplexné číslo|komplexných číslach]] definovaná súčtom [[rad (matematika)|radu]]

:<math>\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \ldots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!},</math>

ktorý konverguje na celej [[komplexná rovina|komplexnej rovine]]. Pre každé dve komplexné čísla ''z''<sub>1</sub>,''z''<sub>2</sub> platí:

:<math>\sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},</math>
:<math>\sin\left(z_1+z_2\right)=\sin z_1 \cos z_2 + \cos z_1 \sin z_2,</math>
:<math>\sin iz = i \sinh z,\,</math>

Tieto vzorce vyplývajú priamo z príslušných definičných [[mocninový rad|mocninových radov]] daných [[Funkcia (matematika)|funkciou]]. Sínus je na celej komplexnej rovine [[jednoznačná funkcia|jednoznačná]] [[holomorfná funkcia|holomorfná]] funkcia.

== Sínus ako riešenie diferenciálnej rovnice ==

Niekedy je výhodné definovať funkciu sínus ako riešenie [[Cauchyho úloha|Cauchyho úlohy]]

: <math> y''(x)+y(x)=0,\ y(0)=0, y'(0)=1.  </math>


== Pozri aj ==
* [[Sínusová veta]]

== Externé odkazy ==
* [https://cloud5.edupage.org/cloud/kniznica.pdf?z%3ArJAlYm4f4xVATjhTdpRa9N1l9u7YMW2o133pyVXOIKwhRRkFrTIv5MRF1BPud2U5 Funkcia sínus]
* [http://studentigih.ttweb.sk/zemianek/sinus.html Funkcia sínus]

== Iné projekty ==
{{projekt|commons=Category:Sine function}}


{{Trigonomické funkcie}}

[[Kategória:Goniometrické funkcie]]
[[Kategória:Goniometria]]