Zobrazenie zdroja stránky Operátor nabla

{{Iné významy|Hamiltonov operátor|Hamiltonov operátor}}

'''Operátor nabla''' (iné názvy: '''nabla, operátor del, del, Hamiltonov operátor, Hamiltonov operátor nabla, hamiltonián''') je diferenciálny [[Operátor (matematika)|operátor]] vo [[Vektor (matematika)|vektorovej]] [[vektorová analýza|analýze]]. Označuje sa symbolom nabla <math>\nabla</math> alebo <math>\vec{\nabla}</math> (v anglosaských krajinách <math>\underline \nabla</math>), aby sa vyjadrila jeho podobnosť s vektorom. Meno nabla je odvodené od názvu hebrejského strunového nástroja, ktorý mal zhruba tento tvar.

Nabla sa používa na skrátený zápis matematických operátorov ako [[Gradient (matematika)|gradient]], [[divergencia (vektorové pole)|divergencia]], [[rotácia (operátor)|rotácia]] a iných.

V ''n''-rozmernom priestore '''R'''<sup>''n''</sup> vytvára ∇ všetky [[parciálna derivácia|parciálne derivácie]] funkcie '''R'''<sup>''n''</sup> podľa '''R''', čo je presne gradient funkcie ''f''.

Ako ''n''-vektor má nabla tvar: <math>{\nabla} \equiv
\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \ldots,
\frac{\partial}{\partial x_n}\right)</math>

Svojim diferenciálnym charakterom pôsobí operátor napravo (teda na symboly stojace napravo od neho), pričom sa prejavuje jeho vektorový charakter.

V [[tenzor]]ovej analýze sa operátor nabla ukázal byť dôležitým príkladom [[kovariantný tenzor|kovariantného tenzoru]].

Operátor sa označuje aj ako ''Hamiltonov operátor'' (pozor na zámenu s pojmom [[hamiltonián]]), pretože ho ako prvý používal sir [[William Rowan Hamilton]]. 

== Zápis významných vzorcov pomocou operátoru nabla ==

Nasledujúce pravidlá platia pre (vo [[fyzika|fyzike]] najobvyklejší) ''trojdimenzionálny [[euklidovský priestor]]'' '''R'''<sup>3</sup> s pravouhlými súradnicami ''x'', ''y'' a ''z''.

* Aplikáciou na skalárne pole <math>\begin{matrix} \Phi(x,y,z) \end{matrix}</math> dostávame [[Gradient (matematika)|gradient]] tohto [[Skalár (matematika)|skalárneho]] poľa:

::<math>
\operatorname{grad\ }\Phi =  \nabla \Phi =
\left( \frac{\partial\Phi}{\partial x}, \frac{\partial\Phi}{\partial y}, \frac{\partial\Phi}{\partial z}\right) =
\frac{\partial\Phi}{\partial x} \mathbf{e}_x + \frac{\partial\Phi}{\partial y} \mathbf{e}_y + \frac{\partial\Phi}{\partial z} \mathbf{e}_z,
</math>

:kde <math>\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z</math> sú jednotkové vektory priestoru '''R'''<sup>3</sup>.

* Skalárnym súčinom nably s vektorovým poľom <math>\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}</math> dostávame [[divergencia (vektorové pole)|divergenciu]] tohto poľa:

::<math>
\operatorname{div\ }\mathbf{V} =
{\nabla} \cdot \mathbf{V} =
\frac{\partial V_x}{\partial x} + \frac{\partial V_y}{\partial y} + \frac{\partial V_z}{\partial z}.
</math>

* Rotáciu vektorového poľa <math>\begin{matrix} \mathbf{V}(x, y, z) \end{matrix}</math> potom získame vektorovým súčinom <math>\nabla</math> s týmto poľom.

::<math>
\operatorname{rot\ }\mathbf{V} =
{\nabla} \times \mathbf{V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_z}{\partial y} - \frac{\partial V_y}{\partial z} \\
\frac{\partial V_x}{\partial z} - \frac{\partial V_z}{\partial x} \\
\frac{\partial V_y}{\partial x} - \frac{\partial V_x}{\partial y} \\
\end{pmatrix}.
</math>

Ďalej potom pre ľubovolné skalárne pole φ, ψ a f a vektorové polia '''A''' a '''B''' platia nasledujúce operácie:

:<math>\nabla(\psi\varphi)=\psi\nabla\varphi+\varphi\nabla\psi</math>

:<math>\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{B})=(\mathbf{A}\cdot\nabla)\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\nabla)\mathbf{A}+\mathbf{A}\times(\nabla\times\mathbf{B})+\mathbf{B}\times(\nabla\times\mathbf{A})</math>

:<math>\nabla f(r)=\frac{df}{dr}\frac{ \mathbf{r}}{r}</math>

:<math>\nabla\cdot(\varphi\mathbf{A})=\varphi\nabla\cdot\mathbf{A}+\mathbf{A}\cdot\nabla\varphi</math>

:<math>\nabla\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot(\nabla\times\mathbf{A})-\mathbf{A}\cdot(\nabla\times\mathbf{B})</math>

:<math>\nabla\cdot\nabla\varphi\equiv\Delta\varphi</math> <small>(pozri aj [[Laplaceov operátor]])</small>

:<math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=\mathbf{0}</math>

:<math>\nabla\times\varphi\mathbf{A}=\varphi\nabla\times \mathbf{A}-\mathbf{A}\times\nabla\varphi</math>

:<math>\nabla\times (\mathbf{A}\times\mathbf{B})=(\mathbf{B}\nabla)\mathbf{A}-\mathbf{B}(\nabla\mathbf{A})+\mathbf{A}(\nabla\mathbf{B})-(\mathbf{A}\nabla)\mathbf{B}</math>

:<math>\nabla\times\nabla\varphi=\mathbf{0}</math>

:<math>\nabla\times (\nabla\times \mathbf{A})=\nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\Delta\mathbf{A}</math>

[[Kategória:Diferenciálna geometria]]
[[Kategória:Diferenciálne operátory]]
[[Kategória:Vektorový počet]]