Zobrazenie zdroja stránky Kvadrika

'''Kvadrika''' alebo '''kvadratická plocha''' je plocha 2. stupňa v [[Trojrozmerný priestor|trojrozmernom priestore]]. Teda ide o [[Plocha (útvar)|plochy]], ktoré v pravouhlej súradnicovej sústave <math>\{0,x,y,z\}</math> môžeme zapísať v tvare <math>ax^2+by^2+cz^2+dxy+ezy+fxz+gx+hy+iz+j=0</math>

== Definícia ==

V [[Priestor (geometria)|priestore]] majme danú [[Rovina (geometria)|rovinu]] <math>k</math>, v nej [[Kužeľosečka|kužeľosečku]] <math>K</math> a bod <math>V</math> mimo nej. [[Množina]] bodov všetkých priamok <math>V,X</math>, kde <math>X \in K</math>, sa nazýva kvadratická kužeľová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby <math>V=[0,0,0]</math> a <math>K:z=c</math>, kde <math>c\neq 0</math>. Potom rovnice kvadratických kužeľových plôch budú:

<math>\frac{(x-\frac{m}{n}z)^2}{a^2}+\frac{(y-\frac{n}{n}z)^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math> ... eliptická kužeľová plocha,

<math>\frac{(x-\frac{m}{n}z)^2}{a^2}-\frac{(y-\frac{n}{n}z)^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=0</math> ... hyperbolická kužeľová plocha,

<math>c(y-\frac{n}{c}z)^2-2p(x-\frac{m}{c}z)z=0</math> ... parabolická kužeľová plocha.

V priestore majme danú rovinu <math>k</math>, v nej kužeľosečku <math>K</math> a priamku <math>p</math> rôznobežnú s rovinou <math>k</math> mimo nej. Množina bodov všetkých priamok, ktoré sú rovnobežné s <math>p</math> a pretínajú <math>K</math> sa nazýva kvadratická valcová plocha. Voľme súradnicový systém tak, aby <math>p\equiv {P;\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)}</math>. Potom rovnice kvadratických valcových plôch budú:

<math>\frac{(x-\frac{v_1}{v_3}z)^2}{a^2}+\frac{(y-\frac{v_2}{v_3}z)^2}{b^2}=1</math> ... eliptická valcová plocha,

<math>\frac{(x-\frac{v_1}{v_3}z)^2}{a^2}-\frac{(y-\frac{v_2}{v_3}z)^2}{b^2}=1</math> ... hyperbolická valcová plocha,

<math>(y-\frac{v_2}{v_3}z)^2-2p(x-\frac{v_1}{v_3}z)=0</math> ... parabolická valcová plocha.

== Elipsoid ==
{{Hlavný článok|Elipsoid}}

[[Image:Ellipsoid Quadric.png|thumb|Elipsoid|150px]]
Elipsoid je stredová kvadrika s tromi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v elipsách. Kanonické rovnice elipsoidu sú 
<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math> 
Ak <math>a=b</math>, tak daný elipsoid je rotačný. V prípade <math>a=b=c</math> je daný elipsoid guľovou plochou.

== Hyperboloid ==
[[Image:Hyperboloid Of One Sheet Quadric.png|Jednodielny hyperboloid|thumb|150px]]
[[Image:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|Dvojdielny hyperboloid|thumb|150px]]

Kanonické rovnice [[Hyperboloid|hyperboloidu]] sú 

<math>\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1</math> ... jednodielny hyperboloid,

<math>-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1</math> ... dvojdielny hyperboloid.

Jednodielny resp. dvojdielny hyperboloid sú stredové kvadriky s tromi rovinami súmernosti, pričom roviny <math>x=0</math> a <math>y=0</math> pretínajú plochu v hyperbolách a rovina <math>z=0</math> v [[Elipsa|elipse]] resp. nemá s plochou žiaden spoločný bod. Hyperboloidy, pre ktoré platí <math>a=b</math>, sú rotačné hyperboloidy.

== Paraboloid ==
[[Image:Hyperbolic Paraboloid Quadric.png|Hyperbolický paraboloid|thumb|150px]]

[[Paraboloid]] je nestredová kvadrika s dvomi rovinami súmernosti, ktoré pretínajú plochu v parabolách. Kanonické rovnice paraboloidu sú 

<math>\frac{x^2}{p}+\frac{y^2}{q}=2z</math> ... eliptický paraboloid,

<math>\frac{x^2}{p}-\frac{y^2}{q}=2z</math> ... hyperbolický paraboloid,

kde <math>p,q</math> sú kladné čísla. Dotyková rovina kvadrickej plochy <math>a(x-s_1)^2+b(y-s_2)^2+c(z-s_3)^2+d=0</math> v dotykovom bode <math>M=[m_1,m_2,m_3]</math> má rovnicu <math>a(m_1-s_1)(x-s_1)+b(m_2-s_2)(y-s_2)+c(m_3-s_3)(z-s_3)+d=0</math>. 

Dotyková rovina kvadrickej plochy <math>a(x-s_1)^2+b(y-s_2)^2-c(z-s_3)^2=0</math> v dotykovom bode <math>M=[m_1,m_2,m_3]</math> má rovnicu <math>a(m_1-s_1)(x-s_1)+b(m_2-s_2)(y-s_2)+c(z+m_3-{2_s}_3)=0</math>

== Pozri aj ==
* [[Kužeľosečka]]
* [[Guľová plocha]]
* [[Kvadratická forma]]
* [[Geometria]]

== Literatúra ==
* M. Billich - M. Trenkler: ''Zbierka úloh z geometrie''. Ružomberok, Verbum. 2013, s. 65

== Externé odkazy ==
* [http://mat.fsv.cvut.cz/borik/Kvadriky.pdf Kvadratické plochy, Výukový materiál]
* [http://thales.doa.fmph.uniba.sk/zlatos/la/LAG_A4.pdf  Kvadriky] 

[[Kategória:Geometria]]